Альберт Эйнштейн
Относительность. Мои искания и стремления
Опыты и рассуждения
Из всех наук математика пользуется особым уважением, потому что ее теоремы абсолютно верны и неоспоримы, тогда как законы других наук в известной степени спорны и всегда существует опасность их опровержения новыми открытиями. Однако исследователю, работающему в какой-либо другой области науки, не приходится завидовать математику, так как положения математики покоятся не на реальных объектах, а исключительно на объектах нашего воображения. В самом деле, нет ничего удивительного в том, что можно прийти к логически согласованным выводам, если сначала пришли к соглашению относительно основных положений (аксиом), а также относительно тех приемов, при помощи которых из этих основных положений выводятся другие теоремы. В то же время это глубокое уважение к математике имеет и другое основание, а именно: математика является тем, что дает точным наукам известную меру уверенности; без математики они ее не могли бы достичь.
В связи с этим возникает вопрос, который волновал исследователей всех времен. Почему возможно такое превосходное соответствие математики с реальными предметами, если сама она является произведением только человеческой мысли, не связанной ни с каким опытом? Может ли человеческий разум без всякого опыта, путем только одного размышления понять свойства реальных вещей?
На мой взгляд, ответ на этот вопрос вкратце таков: если теоремы математики прилагаются к отражению реального мира, они не точны; они точны до тех пор, пока не ссылаются на действительность. Полной ясности в этом вопросе, как мне кажется, можно достичь лишь с помощью того направления в математике, которое известно как «аксиоматика».
Прогресс, достигнутый аксиоматикой, заключается в том, что она четко разграничила логически формальное от его объективного или наглядного содержания. Согласно аксиоматическому подходу, только логически формальное составляет предмет математики; но наглядное или какое-либо другое содержание математики, не связанное с логически формальным, не имеет отношения к математике.
* * *
Рассмотрим с этой точки зрения какую-либо аксиому геометрии, например следующую: через любые две точки в пространстве всегда можно провести одну и только одну прямую. Как истолковать эту аксиому в старом смысле и как – в более современном?
Старая интерпретация. Всякий знает, что такое прямая и что такое точка. Математику нет необходимости решать вопрос о том, откуда мы черпаем эти знания: из мощи человеческого духа или из опыта, из некоторого взаимодействия того и другого или из какого-либо иного источника. Решение этого вопроса математик предоставляет философам. Будучи основанной на этих знаниях, происходящих из всей математики, упомянутая выше аксиома (как и все другие аксиомы) очевидна; иначе говоря, она априори представляет выражение некоторой части этого знания.
Более современная интерпретация. Геометрия трактует объекты, обозначаемые словами: прямая, точка и т. д. При этом предполагается не знание этих объектов или представление о них, но только справедливость аксиом, таких же чисто формальных, т. е. лишенных всякого наглядного и врожденного содержания, как в приведенном выше примере. Эти аксиомы – свободные творения человеческого разума. Все остальные теоремы геометрии являются логическими следствиями этих аксиом (не имеющих реального прообраза). Аксиомы прежде всего определяют объекты, которые рассматриваются в геометрии. Поэтому Шлик в своей книге о теории познания очень метко назвал аксиомы «скрытыми определениями».
Такое понимание аксиом в современной аксиоматике очищает математику от всех не относящихся к ней элементов и устраняет тот мистический мрак, который прежде окутывал основания математики. Но такое очищенное представление делает также очевидным, что сама по себе математика ничего не может сказать о реальных объектах или о каких-либо наглядных образах. Под точкой, прямой и т. д. в аксиоматической геометрии следует понимать только лишенные содержания понятия. То, что дает им содержание, лежит вне математики.
Однако, с другой стороны, верно и то, что математика вообще и геометрия в частности обязаны своим происхождением необходимости узнать что-либо о поведении реально существующих предметов. На это указывает даже само слово «геометрия», означающее «измерение земли». Измерение же земли имеет дело с возможными расположениями различных тел в природе, таких как части самого земного шара, измерительные ленты, измерительные стержни и т. д. Ясно, что из системы понятий аксиоматической геометрии нельзя получить никаких суждений о таких реально существующих предметах, которые мы называем практически твердыми телами. Чтобы такого рода суждения были возможны, мы должны лишить геометрию ее формально-логического характера, сопоставив пустой схеме понятий аксиоматической геометрии реальные объекты нашего опыта. Для этой цели достаточно прибавить только такое утверждение:
Твердые тела ведут себя в смысле различных возможностей взаимного расположения, как тела евклидовой геометрии трех измерений; таким образом, теоремы евклидовой геометрии содержат в себе утверждения, определяющие поведение практически твердых тел.
* * *
Дополненная таким утверждением геометрия становится, очевидно, естественной наукой; мы можем рассматривать ее фактически как самую древнюю ветвь физики. Ее утверждения покоятся существенным образом на выводах из опыта, а не только на логических заключениях. Будем в дальнейшем называть дополненную таким образом геометрию «практической геометрией», в отличие от «чисто аксиоматической геометрии». Вопрос о том, является ли практическая геометрия евклидовой или нет, приобретает совершенно ясный смысл; ответ на него может дать только опыт. Всякие измерения длины в физике точно так же, как и геодезические или астрономические измерения, в этом смысле составляют предмет практической геометрии, если при этом исходить из того опытного закона, что свет распространяется по прямой линии, и именно по прямой в смысле практической геометрии.
Такому пониманию геометрии я придаю особое значение, поскольку без него я не смог бы установить теорию относительности. Именно без нее было бы невозможно следующее соображение: в системе отсчета, которая вращается относительно некоторой инерциальной системы, законы расположения твердых тел не соответствуют правилам евклидовой геометрии вследствие лоренцова сокращения; таким образом, допуская равноправное существование неинерциальных систем, мы должны отказаться от евклидовой геометрии. Если же отвлечься от связи между телом аксиоматической евклидовой геометрии и реальным практически твердым телом, то мы легко приходим к точке зрения, которой придерживался такой оригинальный и глубокий мыслитель, как Анри Пуанкаре: евклидова геометрия отличается от всевозможных мыслимых аксиоматических геометрий своей простотой. А так как аксиоматическая геометрия сама по себе никаких высказываний о реальной действительности не содержит и может это делать лишь совместно с физическими законами, то представлялось бы возможным и разумным придерживаться евклидовой геометрии, какими бы свойствами ни обладала действительность. Если же будет обнаружено противоречие между теорией и опытом, то легче согласиться с изменением физических законов, чем с изменением аксиоматической евклидовой геометрии. Если забыть о связи между практически твердым телом и геометрией, то будет нелегко отказаться от соглашения, что евклидову геометрию следует сохранить как простейшую.
Почему Пуанкаре и другие исследователи отклоняли напрашивающуюся эквивалентность практически твердого тела из реального опыта и геометрического тела? Просто потому, что реальные твердые тела в природе при ближайшем рассмотрении оказываются совсем не твердыми, потому что их геометрическое поведение, т. е. их возможное взаимное расположение, зависит от температуры, внешних сил и т. п. Тем самым первоначальная непосредственная связь между геометрией и физической реальностью оказывается уничтоженной, и мы чувствуем себя вынужденными перейти к следующему, более общему представлению, характерному для точки зрения Пуанкаре. О поведении реальных вещей геометрия (Г) ничего не говорит; это поведение описывает только геометрия вместе с совокупностью физических законов (Ф). Выражаясь символически, мы можем сказать, что только сумма (Г) + (Ф) является предметом проверки на опыте. Таким образом, можно произвольно выбрать как (Г), так и отдельные части (Ф): все эти законы представляют собой соглашения. Во избежание противоречий необходимо оставшиеся части (Ф) выбрать так, чтобы (Г) и полная (Ф) вместе оправдывались на опыте. При таком воззрении аксиоматическая геометрия, с точки зрения теории познания, равноценна возведенной в ранг соглашения части законов природы.
По моему мнению, такое воззрение Пуанкаре с принципиальной точки зрения совершенно правильно. В реальном мире не существует объектов, в точности соответствующих понятию измерительных стержней, или связанному с ним в теории относительности понятию часов. Ясно также, что твердое тело и часы не являются первоначальными понятиями в системе понятий физики, но представляют собой понятия сложные, которые не могут играть самостоятельную роль в теоретической физике. Однако, по моему убеждению, при современном состоянии теоретической физики этими понятиями следует пользоваться как независимыми, поскольку мы пока еще далеки от такого понимания теоретических оснований атомистики, которое позволило бы построить теоретически понятия твердых тел и часов из более элементарных.
Что же касается возражения, что в природе нет абсолютно твердых тел и что приписываемые им свойства не соответствуют физической реальности, то оно никоим образом не является столь серьезным, каким оно может показаться на первый взгляд. В самом деле, нетрудно задать состояние измерительного тела достаточно точно, чтобы его поведение по отношению к другим измерительным телам было настолько определенно и что им можно было бы пользоваться как «твердым» телом. Именно такие измерительные тела надо иметь в виду, когда говорят о твердых телах.
* * *
Всякая практическая геометрия основывается на одном доступном опыту принципе, о котором полезно теперь вспомнить. Предположим, что на практически твердом теле нанесены две отметки; пару таких отметок мы будем называть отрезком. Представим себе два практически твердых тела, на каждом из которых отметим по отрезку. Эти два отрезка называются «равными друг другу», если концы одного отрезка можно длительное время совмещать с концами другого. Теперь сделаем следующее предположение.
Если два отрезка в какой-то момент времени и в каком-то месте оказались равными, то они будут равны всегда и везде.
Не только практическая евклидова геометрия, но и ее непосредственное обобщение – практическая риманова геометрия, а вместе с ней и общая теория относительности покоятся на этом предположении. Из опытных фактов, которые подтверждают это предположение, отмечу лишь один. Явление распространения света в пустом пространстве позволяет каждому интервалу местного времени сопоставить некоторый отрезок, а именно путь, который проходит свет, и наоборот. Отсюда следует, что в теории относительности указанное выше предположение об отрезках должно также выполняться для промежутков времени, измеряемых часами. Тогда его можно формулировать следующим образом: если двое идеальных часов в какой-нибудь момент времени и в каком-нибудь месте идут совершенно одинаково (причем они находятся в непосредственной близости друг к другу), то они всегда будут иметь одинаковый ход, независимо от того, где и когда (в одном и том же месте) их будут сравнивать. Если бы это положение не выполнялось для часов в природе, то собственные частоты разных атомов одного и того же элемента не согласовывались бы между собой с той точностью, какую демонстрирует эксперимент. Существование спектральных линий является убедительным экспериментальным доказательством правильности упомянутого выше принципа практической геометрии. В конечном счете это и служит основанием для возможности осмысленных высказываний о метрике в смысле четырехмерного риманова пространственно-временного континуума.
Согласно выдвинутому здесь взгляду, вопрос о том, имеет этот континуум евклидову, риманову или какую-либо другую структуру, является вопросом физическим, ответ на который должен дать опыт, а не вопросом соглашения о выборе на основе простой целесообразности. Риманова геометрия будет справедлива в том случае, если законы взаимного расположения практически твердых тел будут тем точнее переходить в законы евклидовой геометрии, чем меньше размеры рассматриваемой пространственно-временной области.
Предложенная здесь физическая интерпретация геометрии не может быть непосредственно применена к областям пространства субмолекулярных размеров. Тем не менее даже в вопросах строения элементарных частиц она сохраняет некоторый смысл. В самом деле, в том случае, когда мы описываем электрические элементарные частицы, составляющие материю, можно сделать попытку сохранить физический смысл за теми аспектами поля, которые использовались в физике для описания геометрического поведения тел, больших по сравнению с молекулами. Только успех может служить оправданием такой попытки приписать физическую реальность основным понятиям римановой геометрии вне области их физического определения. Однако может оказаться, что подобная экстраполяция имеет не больше оснований, чем распространение понятия температуры на части тела молекулярных размеров.
Менее спорным представляется экстраполяция понятий практической геометрии на пространства космических размеров. Можно, конечно, возразить, что жесткость конструкции из твердых стержней тем больше отклоняется от идеальной, чем больше их пространственное протяжение. Однако вряд ли можно считать принципиальным такое возражение. Поэтому вопрос о том, является мир пространственно конечным или нет, представляется мне особенно важным в смысле практической геометрии. Я даже считаю возможным, что в недалеком будущем астрономия даст ответ на этот вопрос. Напомним, чему учит в этом отношении общая теория относительности. Согласно этой теории, существует две возможности.
1. Мир пространственно бесконечен. Это возможно только в том случае, если в мировом пространстве средняя пространственная плотность материи, сосредоточенной в звездах, исчезающе мала, если отношение общей массы звезд к объему пространства, по которому они рассеяны, неограниченно приближается к нулю, если мы будем рассматривать все большие и большие объемы пространства.
2. Мир пространственно конечен. Это должно быть в том случае, если существует некоторая средняя плотность весомой материи во Вселенной, отличная от нуля. Чем меньше эта средняя плотность, тем больше объем мирового пространства.
Я должен отметить, что в пользу гипотезы конечного мира можно привести теоретические аргументы. Общая теория относительности учит, что инерция некоторого определенного тела тем больше, чем больше весомые массы, находящиеся вблизи него; поэтому представляется весьма естественным свести всю инерцию тела к взаимодействию между ним и остальными телами во Вселенной, так же как со времен Ньютона тяжесть полностью сводится к взаимодействию между телами. Из уравнений общей теории относительности можно прийти к выводу, что такое полное сведение инерции к взаимодействию между массами – как этого требовал, например, Э. Мах – возможно только в том случае, если мир пространственно конечен.
* * *
Этот аргумент не производит никакого впечатления на многих физиков и астрономов. В конце концов, на деле только опыт может решить, какая из двух возможностей осуществляется в природе; каким образом опыт может дать ответ. Прежде всего можно думать, что среднюю плотность материи можно определить путем наблюдения доступной нашему восприятию части Вселенной. Эта надежда иллюзорна. Распределение видимых звезд крайне неравномерно, так что никоим образом нельзя считать среднюю плотность звездной материи во Вселенной равной, скажем, средней плотности в нашей Галактике. Вообще говоря, как бы велико ни было исследованное пространство, можно подозревать, что есть звезды вне этого пространства. Таким образом, оценка средней плотности кажется невозможной.
Но есть еще второй путь, который представляется мне более перспективным, хотя и он также встречает большие трудности. Именно: если мы исследуем отклонения доступных опытной проверке следствий общей теории относительности от следствий теории Ньютона, то мы прежде всего обнаружим расхождения, которые проявляются в непосредственной близости к тяготеющим массам и которые подтверждаются для планеты Меркурий. Но если мир пространственно конечен, имеется второе расхождение с теорией Ньютона, которое на языке последней можно выразить так: гравитационное поле обладает такими свойствами, как если бы кроме весомых масс оно создавалось также равномерно распределенной в пространстве плотностью массы, имеющей отрицательный знак. Так как эта фиктивная плотность массы крайне мала, то ее можно заметить только в случае очень больших гравитирующих систем.
Предположим, что мы примерно знаем статистическое распределение звезд в Галактике, а также и их массы. Тогда на основе закона Ньютона мы можем рассчитать гравитационное поле и те средние скорости звезд, которые они должны иметь для того, чтобы в Галактике не произошел коллапс вследствие взаимного притяжения звезд и она сохраняла бы свои размеры. Если бы теперь средние скорости звезд – которые могут быть измерены – оказались в действительности меньше вычисленных, мы бы имели указание на то, что на больших расстояниях реальные притяжения меньше, чем следует из закона Ньютона. Из такого расхождения можно было бы косвенным образом доказать конечность мира и даже оценить его пространственные размеры.
Можем ли мы отчетливо представить себе трехмерный мир, который является конечным и в то же время безграничным?
Обычно на этот вопрос отвечают отрицательно; однако это неправильный ответ. Цель последующего изложения – показать, что ответ на данный вопрос должен быть положительным. Я хочу показать, что мы без особых трудностей можем проиллюстрировать теорию конечного мира с помощью наглядной картины, к которой после некоторой практики нетрудно привыкнуть.
Прежде всего сделаем некоторое замечание гносеологического характера. Геометрико-физическую теорию невозможно описать наглядно; она представляет собой просто некоторую систему понятий. Но эти понятия служат для того, чтобы мысленно установить связи между множеством реальных или воображаемых опытов. Поэтому сделать теорию «наглядной» – это значит представить себе то множество чувственных ощущений, которые теория располагает в определенном порядке. В данном случае мы можем спросить себя: «Как можно представить себе поведение твердых тел в смысле их взаимного расположения (контакта), чтобы оно соответствовало теории конечного мира?» В том, что я должен сказать об этом, нет ничего нового; однако адресованные мне бесчисленные вопросы показывают, что любознательность тех, кто интересуется этим предметом, еще не полностью удовлетворена. Надеюсь, меня простят за то, что я буду излагать давно известное.
* * *
Что мы хотим выразить, когда говорим, что наше пространство бесконечно? Ничего, кроме того что мы можем прикладывать одно к другому любое число тел равных размеров и при этом никогда не наполним пространство. Представим себе, что мы имеем огромное множество кубических ящиков одинаковых размеров. Согласно евклидовой геометрии, мы можем поместить их один на другой, один возле другого и один за другим и таким образом заполнить сколь угодно большую часть пространства; но такое построение никогда не может быть закончено: мы могли бы продолжать укладывать все больше и больше кубов – и никогда не придем к тому, что больше места не останется. Это то, что мы хотим выразить, когда говорим о бесконечном пространстве. Лучше было бы сказать, что пространство бесконечно относительно практически твердых тел, предполагая, что законы их расположения определяются евклидовой геометрией.
Другим примером бесконечного континуума является плоскость. На плоскости мы можем так укладывать квадраты из картона, что каждая сторона любого квадрата прилегает к стороне другого квадрата, соседнего с ним. Построение никогда не будет закончено; всегда можно продолжать укладывать новые квадраты, если только законы расположения их соответствуют законам расположения плоских фигур в евклидовой геометрии. Таким образом, плоскость бесконечна относительно картонных квадратов. Соответственно, говорят, что плоскость представляет собой бесконечный континуум двух измерений, а пространство – бесконечный континуум трех измерений. Я думаю, можно считать известным, что понимается здесь под числом измерений.
Теперь приведем пример двумерного континуума, который конечен, но безграничен. Представим себе поверхность большого глобуса и множество одинаковых маленьких круглых бумажных дисков. Поместим один из них где-нибудь на поверхности глобуса. Если мы будем передвигать его как угодно по поверхности глобуса, то при этом путешествии мы нигде не натолкнемся на границу. Поэтому мы говорим, что сферическая поверхность глобуса является безграничным континуумом. Кроме того, сферическая поверхность является конечным континуумом. Действительно, если наклеивать бумажные диски на глобус таким образом, чтобы нигде два диска не накладывались один на другой, то в конце концов мы так заполним поверхность глобуса, что для нового диска уже не останется места. Это и означает, что сферическая поверхность глобуса конечна относительно бумажных дисков.
Далее, сферическая поверхность является неевклидовым континуумом двух измерений; иначе говоря, законы расположения жестких фигур на этой поверхности не согласуются с теми же законами евклидовой плоскости. Это можно показать следующим образом. Возьмем один из дисков и расположим вокруг него еще шесть других дисков, вокруг каждого из которых, в свою очередь, расположим еще шесть, и т. д. Если это построение делается на плоскости, то мы получим непрерываемое расположение, при котором каждый из дисков, не лежащий на краю построения, соприкасается с шестью другими. На сферической поверхности такое построение кажется вначале успешным, в тем большей степени, чем меньше радиус дисков по сравнению с радиусом сферы. Но по мере продолжения подобного построения становится все более очевидным, что невозможно расположить диски указанным выше образом, без перерывов, как это было возможно в случае евклидовой геометрии на плоскости. Существа, которые не могут не только покинуть сферическую поверхность, но даже и «выглянуть» из сферической поверхности трехмерного пространства, могли бы установить путем опыта с дисками, что их двумерное пространство не евклидово, а сферическое.
Из последних результатов теории относительности представляется вероятным, что наше трехмерное пространство также является приблизительно сферическим, т. е. что законы расположения в нем твердых тел определяются не евклидовой геометрией, а приближенно описываются сферической геометрией, если только рассматривать области достаточно большой протяженности.
* * *
Итак, пользуясь, как костылем, способностью мыслить и строить наглядные образы, которую воспитала в нас евклидова геометрия, мы получили наглядную картину сферической геометрии. Мы можем без труда придать большую глубину и строгость этим представлениям с помощью специальных воображаемых построений. Аналогичным образом нетрудно было бы также представить случай так называемой эллиптической геометрии.
Сейчас нашей единственной задачей было показать, что человеческая способность мысленного представления ни в коем случае не должна капитулировать перед неевклидовой геометрией.
