Александр Козлов
Математика флота. Фантастика и реальность

Полная версия

© Оформление. ООО «Русское литературное общество», 2021

© Александр Васильевич Козлов, 2021

Предисловие

В нашем сложном и бушующем мире без чтения бумажных книг не обойтись. Без чтения электронных книг, впрочем, тоже. Но о них чуть позже. Книги же бумажные, изданные типографским способом, имеют особую привлекательность и ценность. Во-первых, читатель тактильно ощущает «непосредственную связь» с книгой. А во-вторых, информация в книге изложена, как правило, системно и должным образом структурирована. Как говорят в таких случаях: буквально разложена по полочкам. Кроме того, издаваемые известными издательствами книги всегда проходят вычитку и корректуру редакторами. Что далеко не является фактом для электронных книг и тем более для различного рода интернет-публикаций. Соответственно, информация, подаваемая классическими книгами, наиболее удобна для освоения и осмысления. И особенно это актуально, когда речь идет о жанрах книг, несущих нужную, важную и полезную информацию.

Книга, которую вы держите в руках, относится к жанру научно-популярной литературы. Как ни странно, по своей популярности такого рода литература сегодня уступает лишь детективам, историческим и приключенческим романах, далеко опережая в рейтингах и поэзию, и публицистическую литературу, и даже фэнтези; а также, как это не парадоксально, научную и учебную литературу. Научно-популярная литература, по определению, направлена как на специалистов из других областей знания, так и на малоподготовленных читателей, включая детей и подростков. То есть можно сказать, что данная литература предназначенные для широкого круга читателей. Возможно, поэтому и имеет такие высокие рейтинги.

Автор данной книги флотский офицер, капитан 2 ранга запаса Козлов Александр Васильевич. Многим читателям он стал известен после издания серии книг для детей и юношей о флоте «Азбука моряка», «Морской Букварь», «Морской букварик», «Все о морских узлах», «Миссия флота». Поэтому не случайно, что и эта книга преимущественно о Военно-Морском Флоте Российской Федерации. Ведь она так и называется: «Математика флота: фантастика и реальность». Но не спешите люди «не флотские» ее сразу же откладывать в сторонку! Данная книга еще и о космическом флоте, о флоте воздушном и гражданском, а также вспомогательном и добровольном. А значит и вы наверняка сможете в ней найти очень много полезной и нужной информации. В частности, автор расскажет вам «об истории развития математики как науки, обо всех существующих системах счисления, о знаменитых математиках мира и нашей страны, о ментальной арифметике, о ленте Мёбиуса, о числе Маха и гиперзвуке…» Но и чисто флотские понятия, такие как «морской узел», «остойчивость и плавучесть корабля», «морская миля», также наверняка будут интересны широкому кругу читателей. Не говоря уже о новомодной теме применения искусственного интеллекта в военной среде. Ответит автор и на такие глобальные вопросы: «Как ходят под водой подводные лодки? Архимедова сила или что держит судно на воде?» Впрочем, достаточно одним глазком взглянуть в оглавление книги, чтобы убедиться в широте рассматриваемых тем и самому прийти к однозначному выводу: данную книгу нужно обязательно прочитать!

Как известно, немецкому ученому XVIII–XIX века Карлу Фридриху Гауссу принадлежат знаменитые слова, ставшие со временем крылатой фразой, о том, что математика является «царицей всех наук». Наверное, это слишком громкое заявление. Тем более, что полностью знаменитая фраза звучит следующим образом: «Математика – царица всех наук, а арифметика – царица математики. Она часто предоставляет услуги астрономии и другим естественным наукам, но во всех смыслах она обладает правом находиться в первых рядах». И все-таки большая доля истины в крылатой фразе есть. Поэтому читать о математике, изучать ее основы, а также знакомиться со сложнейшими и до сих пор нерешенными математическими задачами нужно! Равно как и узнавать самые большие числа Космоса или количество звезд во Вселенной. И поможет вам в этом новая книга данного автора, моего коллеги по флотской службе и писательскому ремеслу.

Могу утвердительно заявить, что Александр Козлов – настоящий патриот нашей страны и российского Военно-Морского Флота, в частности. С 2017 года является членом Союза писателей России и членом Военно-художественной студии писателей Центрального Дома Российской армии имени М. В. Фрунзе Министерства обороны Российской Федерации. Активно печатается в журналах и газетах, выступает на радио и творческих встречах, являясь также заместителем главного редактора Интернет-журнала «За тех, кто в море!». Наверное, еще и поэтому он так скрупулезно разбирается в технических характеристиках современных двигателей космических и обычных крылатых ракет, и убедительно доказывает, что наши гиперзвуковые ракеты самые быстрые и эффективные. И Военно-Морской Флот Российской Федерации, как подводные силы, так и надводные корабли, – одни из самых сильных и мощных в мире. Так что книга будет интересна еще и для людей, живо интересующихся как военной, так и космической тематикой. А для любителей фантастики книги и вовсе станут настольным справочником по изучению характеристик и возможностей всех космических движителей, уносящих героев этих книг в заоблачные таинственные миры.

А в завершении моего представления этой книги хотел бы сказать пару слов в защиту электронных книг. Тем более, что в начале этого предисловия пообещал это сделать. Электронные книги приобретают сегодня особую популярность. Ведь они занимают не так много места в памяти смартфона, всегда под рукой, удобны для скачивания с многочисленных ресурсов и для передачи «из рук в руки»: быстрого обмена между читателями. И так далее и тому подобное, ведь достоинств у электронных книг действительно не мало.

Не случайно, что Александр является одним из авторов издательства «Горизонт», специализирующегося на издании электронных книг военной тематики. Поэтому большинство книг Александра Козлова продается в электронном виде в самом крупном в России интернет-магазине электронных книг «ЛитРес». А значит, если читатели захотят ознакомиться, кроме этой книги, и с другим творчеством автора, то легко это смогут сделать.

Приятного вам чтения, дорогие читатели! И как говорят в таких случаях: «Попутного ветра и семь футов под килем!»

Секретарь Союза писателей России,

писатель-маринист, журналист,

капитан 1 ранга запаса

Владимир Шигин

От автора

Эту книгу я задумывал как продолжение серии книг для детей и юношей о Военно-морском и гражданском флотах. Четыре книги – «Азбука моряка», «Морской букварь», «Морской букварик» и «Все о морских узлах» – давно уже изданы, и их можно приобрести во многих книжных сетях. А «Математика флота» завершает эту серию.

Математика используется в военно-морском деле на каждом шагу: в морской практике, в кораблестроении, в расчетах остойчивости кораблей, в оценке волнений моря и т. д. и т. п. Я уж не говорю про столь актуальные сегодня расчеты предельной дальности поражения объектов ракетными установками и точности такой стрельбы. Не случайно, целая глава этой книги рассказывает об особо «модном» сейчас гиперзвуке и числе М, которые на слуху буквально у каждого внимательного читателя современной публицистики и разнообразных СМИ.

Но есть и еще один аспект применения математики на флоте! Впрочем, флот в данном случае рассматривается в книге не в узко специализированном, а в широком смысле. Ведь космический флот – это тоже флот! А есть еще флот морской (или иначе говоря, гражданский), воздушный, вспомогательный и даже добровольный. Конечно, мне – как капитану 2 ранга запаса – более близка тема именно Военно-морского флота! Поэтому книга едва ли не на 80 % состоит из информации по ВМФ России. Но реальные скорости применяемых на флоте крылатых ракет и математические выкладки по их практическому использованию в условиях современного морского боя настолько выросли в современном мире, что впору их реально сравнивать с выдуманными некогда математическими значениями и параметрами писателей фантастов! Ну а коль фантастика занимает сейчас лидирующие позиции в книгопечатании, то и желание расширить круг своих читателей за счет этой темы, надеюсь, вполне объяснимо. Тем более, что мое участие в различного рода программах на РЕН ТВ и канале «Звезда» по данной тематике позволило накопить большой объем информационных материалов. Поэтому с радостью поделюсь ими и с удовольствием подискутирую с моими читателями на тему востребованности нашего Военно-морского флота в современном мире, о его тактико-технических характеристиках и возможностях.

Также отдельная тема этой книги – обзор всех существующих и перспективных двигателей, как для реальных космических кораблей и российской ракетной техники, так и для фантастических межпланетных кораблей. Реальная ситуация сегодня в этой области такова, что фантастика и реальность находятся буквально в полушаге друг от друга. Не мудрено, что сейчас приходится говорить об этом уже в едином блоке освещения новостей и проведения аналитических сравнений. Именно поэтому и называется моя книга «Математика флота: фантастика и реальность».

Наверное, читатель вправе задать мне свой вопрос: «А откуда взялась у меня, флотского офицера, такая тяга и любовь к математике?» Охотно отвечаю: «Мне привили ее еще в средней школе, когда я вместе со своими школьными друзьями, в свое время, поступил в ЗФТШ (заочно физико-техническую школу) при МФТИ (Московском физико-техническом университете) в г. Долгопрудный. Этот ВУЗ до сих пор является «кузницей кадров» для Российской академии наук. Наш преподаватель по математике средней школы № 2 города Кузнецка Яков Иванович Сорокин оставил неизгладимый след в моей жизни! И если бы я не стал офицером военно-морского флота, то обязательно связал бы свою жизнь с математикой! Так что данная книга – своего рода дань той моей детской мечте и увлеченности этой замечательной научной дисциплиной! А еще – благодарная память о моем замечательном Учителе!

Соответственно, главная задача этой книги состоит в том, чтобы наглядно показать, насколько наука математика удивительна и полезна, ведь недаром ее считают «царицей наук». В этой книге рассказывается не только о практическом применении математики на флоте, но и об ее использовании во всех областях, где она так или иначе применяется! Читателя ждет рассказ о самых интересных числах и огромная подборка занимательных фактов, в цифрах и о цифрах, во всем широчайшем многообразии подобной информации. В книге собрано множество необычных сведений о флоте, моряках и морских путешествиях! Книга поведает об истории развития математики как науки, обо всех существующих системах счисления, о знаменитых математиках мира и нашей страны, о ментальной арифметике, о ленте Мёбиуса, о числе Маха и гиперзвуке и т. д. и т. п.

Фантастика и реальность будут повсеместно соседствовать на страницах этой книги! И даже о ДНК человека будет рассказано достаточно много малоизвестных и сногсшибательных фактов. Одним словом, читателей ждет увлекательнейшее путешествие в удивительный мир математики!

Итак приготовьтесь – мы начинаем свое очередное путешествие в увлекательный мир знаний!

О роли математики на флоте и об истории ее использования

Значение цифр жизни общества и флота

Цифры (от латинского слова cifra, или от арабского j (sifr) – «пустой, нуль») – система знаков для записи конкретных значений чисел. Цифрами называют только такие знаки, которые сами в отдельности описывают определённые числа (так например, знаки «-», «,» хоть и используются для записи чисел, но цифрами не являются). Слово «цифра» без уточнения обычно означает один из следующих десяти знаков (т. н. арабские цифры):

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Существуют также много других вариантов («алфавитов»):

• римские цифры (I VX LC D М);

• шестнадцатиричные цифры

(0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F);

• цифры майя (от 0 до 19);

• в некоторых языках, например, в древнегреческом, в иврите, в церковнославянском существуют система записи чисел буквами и другие системы.

Рис. 1. Цифры числовой системы майя

В обиходной речи во множественном числе слово цифры также может обозначать «числовые данные», так как любое число записывается набором цифр. Например, выражение «приведём такие цифры» на самом деле говорит о числах, и даже когда речь идёт об одном числовом данном, записанном одной цифрой, следует употреблять множественное число. Однако неверно говорить «здесь цифры больше», так как сравниваются не цифры, а числа. В современном русском языке слово цифра пишется через букву «и», в отличие от слов-исключений: цыган, цыплёнок, цыпочки и др.

Понятие о числе зародилось в глубокой древности, когда человек научился считать предметы: два дерева, семь быков, пять рыб… Сначала счёт вели на пальцах. В разговорной речи мы до сих пор иногда слышим: «Дай пять!», то есть подай руку. А раньше говорили: «Дай пясть!» Пясть – это рука, а на руке пять пальцев. Когда-то слово пять имело конкретное значение – пять пальцев пясти, то есть руки.

Позднее вместо пальцев для счёта начали использовать зарубки на палочках. А когда возникла письменность, для обозначения чисел стали употреблять буквы. Например, у славян буква А означала число «один» (Б не имело числового значения), В – два, Г – три, Д – четыре, Е – пять.

Постепенно люди стали осознавать числа независимо от предметов и лиц, которые могли подвергаться счёту: просто число «два» или число «семь». В связи с этим у славян появилось слово «число». В значении «счёт, величина, количество» его начали употреблять в русском языке с XI века. Наши предки использовали слово число и для указания на дату, год. С XIII века оно стало обозначать ещё и дань, подать.

В старину в книжном русском языке наряду со словом число имело хождение существительное чисмя, а также прилагательное чисменый. В XVI веке появился глагол числити – «считать».

В европейских странах получили распространение специальные знаки, обозначающие числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, только во второй половине XV века. Изобрели их индийцы, а в Европу они попали благодаря арабам, поэтому и получили название «арабские цифры». Индийское происхождение так называемых «арабских цифр» было признано в науке лишь в XIX веке. Первым учёным, высказавшим эту, для того времени новую мысль, был русский востоковед Георгий Яковлевич Кер (1692–1740). Кер с 1731 года служил в Москве переводчиком коллегии иностранных дел.

В нашей стране арабские цифры появились в Петровскую эпоху. В то же время в русский язык прочно вошло слово цифра. Арабское по происхождению, оно тоже пришло к нам из европейских языков. У арабов, как было сказано выше, первоначальное значение слова цифра было «нуль, пустое место». Именно в этом значении существительное цифра и вошло во многие европейские языки, в том числе в русский. С середины XVIII века слово «цифра» приобрело новое значение – знак числа.

Совокупность цифр в русском языке называлась «цифирь» (в старой орфографии «цыфирь»). Дети, изучавшие счёт, говорили: учу цифирь, пишу цифирь. (Вспомните учителя по фамилии Цыфиркин из комедии Дениса Ивановича Фонвизина «Недоросль», который обучал нерадивого Митрофанушку цифири, то естьарифметике.) При Петре I в России открыли цифирные школы – начальные государственные общеобразовательные учебные заведения для мальчиков. В них кроме других дисциплин детям преподавали цифирную науку – арифметику, математику.

Итак, слова «число» и «цифра» различаются и по значению, и по происхождению. Число – единица счёта, выражающая количество (один дом, два дома, три дома и т. д.). Цифра – знак (символ), обозначающий значение числа. Для записи чисел мы используем арабские цифры – 1,2, 3… 9, 0, а в некоторых случаях и римские – I, II, III, IV, V и т. д.

В наши дни слова «число» и «цифра» употребляются и в других значениях. Например, когда мы спрашиваем: «Какое сегодня число?», то имеем в виду день месяца. Сочетания «в том числе», «из числа кого-нибудь», «в числе кого-то» обозначают состав, совокупность людей или предметов. А если мы доказываем что-то с цифрами в руках, то обязательно используем числовые показатели. Словом «цифра» называют также денежную сумму (цифра дохода, цифра гонорара).

В разговорной речи слова число и цифра часто заменяют друг друга. Например, числом мы называем не только величину, но и знак, который её выражает. Об очень больших в числовом отношении величинах говорят астрономические числа или астрономические цифры.

Интересно, что похожее слово «количество» появилось в русском языке в XI веке. Оно пришло из старославянского языка и образовано от слова колико – «сколько». Существительное «количество» употребляется в применении ко всему, что поддаётся счёту и измерению. Это могут быть люди или предметы (количество гостей, количество книг), а также количество вещества, которое мы не считаем, а измеряем (количество воды, количество песка).

На военных кораблях цифры тоже играют большую роль. Например, все корабли имеют свой ранг: от 1-го до 4-го.

В целях лучшего применения оружия и использования технических средств в бою на кораблях создаются боевые части и службы: штурманская боевая часть – БЧ-1; ракетная (ракетно-артиллерийская, артиллерийская) – БЧ-2; минно-торпедная – БЧ-3; боевая часть связи – БЧ-4; электромеханическая – БЧ-5; авиационная – БЧ-6; радиотехническая – БЧ-7. А еще три службы: радиационной, химической и биологической защиты – Сл-Х; медицинская – Сл-М; снабжения – Сл-С. То есть всего 10 боевых частей и служб.

Сами корабли и подводные лодки разделяются на отсеки. И их тоже, как правило, бывает от 7 до 10.

И даже всем мичманам, старшинам и матросам кораблей, в соответствии с боевой организацией корабля, присваиваются боевые номера, которые заносятся в Табель нумерации личного состава.

Рис. 2. Схема расположения отсеков подводной лодки.

Боевой номер состоит из трех частей:

• первая часть (цифра или буква) указывает, в какой боевой части (службе) находится мичман, старшина или матрос согласно расписанию по боевой тревоге;

• вторая часть (одна, две или три цифры) указывает номер боевого поста, где находится мичман, старшина или матрос согласно «Расписанию по боевой тревоге»;

• третья часть (две цифры) определяет принадлежность мичмана, старшины или матроса к боевой смене; первая цифра обозначает номер боевой смены, вторая цифра – порядковый номер мичмана, старшины или матроса в смене.

Боевым сменам присваиваются следующие цифры:

первой боевой смене – 1,5, 7;

второй боевой смене – 2, 4, 8;

третьей боевой смене – 3, 6, 9.

При наличии на боевом посту в каждой боевой смене до 9 человек для их обозначения используются цифры 1,2, 3, до 18 человек – 1 и 5, 2 и 4, 3 и 6, до 27 человек – 1,5 и 7; 2, 4 и 8; 3, 6 и 9.

Развитие математики и основные системы счисления

Как известно, слово «математика» произошло от греческого слова μαθηματικός, первоначально означающего восприимчивый, успевающий, позднее относящийся к изучению, впоследствии относящийся к математике. В частности, μαθηματικὴ τέχνη, на латыни ars mathematica, означает искусство математики. Термин древнегреческий μᾰθημᾰτικάв современном значении этого слова «математика» встречается уже в трудах Аристотеля (IV век до н. э.). По мнению Макса Фасмера-автора Этимологического словаря русского языка – в русский язык слово пришло либо через польское matematyka, либо через латинское mathematica.

В текстах на русском языке слово «математика» или «маеематика» встречается, по крайней мере, с XVII века, например, у Николая Спафария в «Книге избранной вкратце о девяти мусах и о седмих свободных художествах» (1672 год).

Одно из первых определений предмета математики дал Декарт: «К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей математики».

В советское время классическим считалось определение из Большой Советской Энциклопедии, данное А.Н. Колмогоровым: «Математика… наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира». Но самым известным определением является: «Математика – царица всех наук…». Это часть знаменитой фразы, которая принадлежит известному немецкому ученому XVIII–XIX века Карлу Фридриху Гауссу.

Вопрос об основах математики и о том, что представляет собой, в конечном счете, математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит, в конце концов, найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками. «Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным. Но прогнозирование его исторических судеб не поддаётся рационализации и не может быть объективным.

Мы знаем, что Математика как учебная дисциплина подразделяется в Российской Федерации на элементарную математику, изучаемую в средней школе и образованную дисциплинами:

• арифметика;

• элементарная алгебра;

• элементарная геометрия: планиметрия и стереометрия;

• теория элементарных функций и элементы анализа;

и высшую математику, изучаемую на нематематических специальностях вузов. Дисциплины, входящие в состав высшей математики, варьируются в зависимости от специальности.

Развитие математики началось вместе с тем, как человек стал использовать абстракции сколько-нибудь высокого уровня. Простая абстракция – числа; осмысление того, что два яблока и два апельсина, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека – это качественное достижение мышления человека. Кроме того, что древние люди узнали, как считать конкретные объекты. Они также поняли, как вычислять и абстрактные количества, такие, как время: дни, сезоны, года. Из элементарного счёта естественным образом начала развиваться арифметика: сложение, вычитание, умножение и деление чисел.

Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Очевидно, что древние люди сначала выражали количество путём рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки, не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемые кипу. Кипу (от слова quipu, означающего на языке кечуа «узел») – это так называемое узелковое письмо, мнемоническая и счетная система, которая использовалась еще в доинкских цивилизациях с III тысячелетия до нашей эры. Подробно о ней я рассказал в своей книге «Все о морских узлах». Здесь же к сказанному добавлю лишь, что в настоящее время известно более 800 кипу, и почти три сотни из них хранятся в Этнографическом музее Берлина.

В мире существовало множество различных систем счисления. Первые известные записи чисел были найдены в папирусе Ахмеса, созданном египтянами Среднего царства. Индийская цивилизация разработала современную десятичную систему счисления, включающую и концепцию нуля. А вот в Древней Греции была распространена так называемая аттическая нумерация. Числа 1, 2, 3, 4 обозначались черточками:

I II III III

Число 5 записывалось знаком Г (древнее начертание буквы «пи», с которой начинается слово «пенте» – пять). Числа 6, 7, 8, 9 обозначались так:

ГI ГII ГIII ГIIII

Число 10 обозначалось Δ (начальной буквой слова «дека» – десять). Числа 100, 1000 и 10 000 обозначались Η, Χ, Μ – начальными буквами соответствующих слов.

Другие числа записывались различными комбинациями этих знаков.

В третьем веке до нашей эры аттическая нумерация была вытеснена так называемой ионийской системой. В ней числа 1–9 обозначаются первыми девятью буквами алфавита: α (альфа), β (бэта), γ (гамма), δ (дельта), ε (эпсилон), ς (фау), ζ (дзета), η (эта), θ (тэта).

Числа 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 – следующими девятью буквами: ι (йота), κ (каппа), λ (ламбда), μ (мю), ν (ню), ξ (кси), ο (омикрон), π (пи), ϙ (коппа).

Числа 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 – последними девятью буквами греческого алфавита:

ρ σ τ υ φ χ ψ ω ϡ

Алфавитную нумерацию, подобную древнегреческой, имели в древности евреи, арабы и многие другие народы Ближнего Востока. У какого народа она возникла впервые неизвестно.

В Древнем Риме в качестве «ключевых» использовались числа 1,5, 10, 50, 100, 500 и 1000. Они обозначались соответственно буквами I, V, X, L, С, D и М.

Все целые числа (до 5000) записывались с помощью повторения вышеприведенных цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из большей: VI = 6, т. е. 5 + 1; IV = 4, т. е. 5–1; XL = 40, т. е. 50–10; LX = 60, т. е. 50 + 10.

Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз: LXX = 70, LXXX = 80, число 90 записывается ХС (а не LXXXX).

Например: XXVIII = 28, XXXIX = 39, CCCXCVII = 397, MDCCCXVIII = 1818.

Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно. Однако римская нумерация сохранилась до настоящего времени. Ее используют для обозначения юбилейных дат, наименования конференций, глав в книгах и т. д.

На Руси в старину цифры обозначались буквами. Для указания того, что знак является не буквой, а цифрой, сверху над ними ставился специальный знак, называемый «титло». Первые девять цифр записывались так:

Десятки обозначались так:

Сотни обозначались так:

Тысячи обозначались теми же буквами с «титлами», что и первые девять цифр, но у них слева ставился знак «»:

Десятки тысяч назывались «тьма», их обозначали, обводя знаки единиц кружками:

Отсюда произошло выражение «Тьма народу», т. е. очень много народу.

Сотни тысяч назывались «легионами», их обозначали, обводя знаки единиц кружками из точек:

Миллионы назывались «леодрами». Их обозначали, обводя знаки единиц кружками из лучей или запятых:

Десятки миллионов назывались «воронами» или «вранами» и их обозначали, обводя знаки единиц кружками из крестиков или ставя по обе стороны букву К:

Сотни миллионов назывались «колодами». «Колода» имела специальное обозначение – над буквой и под буквой ставились квадратные скобки:

Иероглифы жителей Древнего Вавилона составлялись из узких вертикальных и горизонтальных клинышков, эти два значка использовались и для записи чисел. Один вертикальный клинышек обозначал единицу, горизонтальный – десяток. В Древнем Вавилоне считали группами по 60 единиц. Например, число 185 представлялось как 3 раза по 60 и еще 5. Записывалось такое число с помощью всего двух знаков, один из которых обозначал, сколько раз взято по 60, а другой – сколько взято единиц.

О том, когда и как возникла у вавилонян шестидесятеричная система, существует много гипотез, но ни одна пока не доказана. Одна из гипотез, состоит в том, что произошло смешение двух племен, одно из которых пользовалось шестеричной системой, а другое – десятичной. Шестидесятеричная система возникла как компромисс между этими двумя системами. Другая гипотеза состоит в том, что вавилоняне считали продолжительность года равной 360 суткам, что, естественно, связывают с числом 60.

Шестидесятеричная система в некоторой степени, сохранилась до наших дней, например, в делении часа на 60 минут, а минуты – на 60 секунд и в аналогичной системе измерение углов: 1 градус равен 60 минутам, 1 минута-60 секундам.

Двоичной системой счисления пользовались при счете некоторые первобытные племена, она была известна еще древнекитайским математикам, но по-настоящему развил и построил двоичную систему великий немецкий математик Лейбниц, видевший в ней олицетворение глубокой метафизической истины.

Двоичной системой счисления пользуются некоторые (местные) культуры в Африке, Австралии и Южной Америке.

Для изображения чисел в двоичной системе счисления требуется лишь две цифры: 0 и 1. По этой причине двоичную запись числа легко представить, пользуясь физическими элементами, которые имеют два различных устойчивых состояния. Именно это и послужило одной из важных причин широкого использования двоичной системы в современных электронных вычислительных машинах.

Самой экономичной из всех систем счисления является троичная. Двоичная и равносильная ей, в смысле экономичности, четверичная системы, несколько уступают в этом отношении троичной, но превосходят все основные возможные системы. Если для записи чисел от 1 до 10 в десятичной системе требуется 90 различных состояний, а в двоичной -60, то в троичной системе достаточно 57 состояний.

Наиболее привычная ситуация, в которой проявляется необходимость троичного анализа, – это, пожалуй, взвешивание на чашечных весах. Здесь могут возникнуть три разных случая: либо одна из чашек перевесит другую, либо наоборот, либо же чашки уравновесят друг друга.

Четверичной системой счисления пользуются, главным образом, индейские племена Южной Америки и индейцы юкки в Калифорнии, считающих на промежутках между пальцами.

Пятеричная система счисления была распространена гораздо шире, чем все остальные. Индейцы племени тама-накос в Южной Америке употребляют для обозначения числа 5 то же слово, что и для обозначения «всей руки». Слово «шесть» по-таманакски означает «один палец на другой руке», семь – «два пальца на другой руке» и т. д. для восьми и девяти. Десять называется «двумя руками». Желая назвать число от 11 до 14, таманакос протягивают вперед обе руки и считают: «один на ноге, два на ноге» и т. д. до тех пор, пока не доходят до 15 – «всей ноги». Затем следует «один на другой ноге» (число 16) и т. д. до 19. Число 20 по-таманакски означает «один индеец», 21 – «один на руке другого индейца». «Два индейца» означают 40, «три индейца» – 60. У жителей древней Явы и у ацтеков продолжительность недели составляла 5 дней. Некоторые историки считают, что римское число X (десять) составлено из двух римских пятерок V (одна из них перевернута), а число V в свою очередь возникло из стилизованного изображения человеческой руки.