Джеймс Глик
Хаос. Создание новой науки

Полная версия

Глава 3
Взлеты и падения жизни

При использовании математики в биологии следует всегда проверять результат интуицией, сопоставляя его с разумным биологическим поведением рассматриваемых объектов. Когда такая проверка выявит расхождение, нужно учесть вероятность того, что: а) была допущена математическая ошибка; б) исходные предположения неверны и/или являются слишком грубой моделью реальной ситуации; в) интуиция исследователя недостаточно развита; г) открыт новый основополагающий принцип.

Харви Голд «Математическое моделирование биологических систем»

Моделирование популяций животного мира. Нелинейная наука, «изучение тех животных, что не являются слонами». Бифуркации и прогулка по реке Шпрее. Картина хаоса и мессианский призыв.

Стаи хищных рыб пожирают планктон^[104]. Влажные тропические леса кишат неизвестными рептилиями, птицами, скользящими под навесом густой листвы, насекомыми, гудящими, словно частицы в ускорителе. Там, где царит вечная мерзлота, идет тяжелая борьба за выживание: регулярно, раз в четыре года, стремительно возрастает, а затем убывает численность популяций полевок и леммингов. Наш мир – огромная лаборатория природы, создавшей около пяти миллионов взаимодействующих друг с другом биологических видов^[105]. Или пятидесяти миллионов? Специалистам точно не известно.

Биологи XX века, обратившись к математике, создали новую дисциплину – экологию, которая, абстрагируясь от шума и яркости реальной жизни, стала рассматривать популяции как динамические системы. Экологи включили в свой арсенал элементарные инструменты математической физики для описания колебаний численности биологических объектов. Вот какой-то вид активно размножается там, где ограничены пищевые запасы, вот несколько других борются между собой за выживание, вот эпидемия косит целые популяции – и все эти процессы происходят как бы изолированно друг от друга, если не в лабораториях, так уж точно в умах теоретиков от биологии.

Когда в 1970-е годы хаос превратился в обособленную отрасль знания, экологам в ней была отведена специальная ниша. Ведь они тоже прибегали к математическому моделированию, всегда сознавая, что их модели – лишь слабое приближение к реальному миру, в котором кипит жизнь^[106]. Зато осознание этого факта позволяло проникаться важностью идей, которые математики считали не более чем странными. Появление в стабильных системах неупорядоченного поведения означало для эколога отличный результат. Уравнения, применявшиеся в популяционной биологии, были элементарными аналогами физических моделей отдельных фрагментов Вселенной. Тем не менее предмет исследования биологических наук своей сложностью превосходил любую физическую задачу. Математические модели биологов, как и те, что создавались экономистами, демографами, психологами и градостроителями, привносили в эти далекие от точности дисциплины элементы строгости и жесткости, однако напоминали карикатуры на реальный мир. Разумеется, стандарты, принятые в разных областях знания, различались: физику система уравнений Лоренца казалась простой, если не сказать примитивной, а для биолога она, с ее трехмерностью, непрерывной изменчивостью и отсутствием аналитического решения, представляла непреодолимую трудность.

Биологи вынуждены были создать новые методы исследований, несколько по-иному подгоняя математические абстракции под реальные феномены. Физик, анализируя определенную систему (допустим, два маятника, соединенные пружиной), начинает с подбора уравнений: сначала он смотрит в справочник, а если там не найдется ничего подходящего, строит нужные уравнения исходя из основополагающих теоретических принципов. Совмещая знания о маятниках и знания о пружинах, он получает искомые уравнения, а затем пытается их решить, если это возможно. Биологу, напротив, никогда не придет мысль теоретически вывести необходимые уравнения, основываясь лишь на знаниях об отдельной популяции животных. Ему необходимо собрать данные, а затем уже попробовать найти уравнения, которые дали бы схожий с реальностью результат. Что получится, если поместить тысячу рыб в пруд с ограниченными пищевыми ресурсами? Что изменится, если выпустить туда еще пятьдесят акул, поедающих по две рыбы в день? Какая судьба постигнет вирус, вызывающий гибель определенного количества животных и распространяющийся с известной скоростью, которая зависит от плотности популяции? Экологи идеализировали подобные задачи, стараясь решить их с помощью уже известных формул.

Зачастую такой подход срабатывал. Популяционная биология выяснила кое-что об истории возникновения жизни, об отношениях хищников и их жертв, о том, как влияет изменение плотности населения в регионе на распространение болезни. Если математическая модель показывала, как процесс развивается, достигает равновесия или затухает, экологи могли представить себе обстоятельства, в которых реальные популяции и эпидемии будут вести себя так же.

Одно из весьма полезных упрощений заключалось в моделировании окружающего мира в рамках отдельных временных интервалов. Так, стрелка наручных часов секунда за секундой прыгает вперед, вместо того чтобы скользить непрерывно. Дифференциальные уравнения описывают плавно изменяющиеся во времени процессы, но такие уравнения трудно решить. Гораздо проще использовать так называемые разностные уравнения, вполне пригодные для описания процессов, скачкообразно переходящих от состояния к состоянию. К счастью, большинство популяций животного мира проходит свой жизненный цикл за год. Изменения, происходящие от года к году, зачастую важнее тех, что случаются минута за минутой. В отличие от людей многие насекомые, например, успевают развиться, достичь зрелости, дать потомство и умереть за один сезон, и поэтому периоды жизни поколений у них не накладываются друг на друга. Чтобы рассчитать, какова будет численность популяции непарного шелкопряда следующей весной или сколько людей зимой заболеют корью, экологу хватает данных текущего года. Столь точная повторяемость цифр, подобная неизменяющейся подписи человека, дает весьма слабое представление о сложности системы, однако для многих реальных ситуаций ученому этого представления достаточно.

В сравнении с математикой Стива Смейла математика экологии – это то же самое, что десять заповедей в сравнении с Талмудом: отличный набор действующих правил, но ничего особо запутанного. Для описания популяции, численность которой меняется каждый год, биологу достаточно проделать вычисления, доступные даже старшекласснику. Предположим, что будущая численность популяции непарного шелкопряда полностью зависит от ее численности в текущем году. Вообразите, что у вас есть таблица, отражающая эту зависимость: если численность особей достигнет 31 тысячи в текущем году, следовательно, через год их будет уже 35 тысяч, и так далее. Представить соотношение между данными величинами, как правило, можно в виде функции: численность популяции (х) в будущем году есть функция (F) от нынешней численности: x_next = F (x). Любую такую функцию можно изобразить в виде графика и мгновенно понять ее свойства.

Чтобы проследить за динамикой популяции в такой модели, вы просто выбираете какой-то стартовый размер популяции, применяете к нему функцию, к результату снова применяете ту же функцию и продолжаете так снова и снова. Данные для третьего года выводятся из данных для второго, и так далее. Благодаря подобному итерационному процессу можно рассмотреть историю популяции на протяжении многих лет. Тут обнаруживается своего рода обратная связь, когда результат каждого года служит исходной величиной для последующего. Обратная связь может стать неуправляемой, как бывает, когда звук из громкоговорителя проходит обратно через микрофон, мгновенно усиливаясь до невыносимого визга. С другой стороны, обратная связь способна породить и стабильность, как в случае с термостатом, который регулирует температуру в жилом доме: любое ее увеличение сверх определенного уровня ведет к охлаждению, а за снижением следует нагрев.

Возможно применение множества разных типов функций. Та, которую используют при упрощенном подходе, предполагает, что численность популяции ежегодно увеличивается на сколько-то процентов; это линейная функция x_next = rх. Данное выражение иллюстрирует классическую мальтузианскую схему увеличения популяции, не сдерживаемого пищевым и моральным факторами. Величина r есть коэффициент прироста численности особей. Допустим, его значение равно 1,1. В таком случае, если популяция в текущем году насчитывает 10 особей, в следующем их будет уже 11. Если у нас есть 20 тысяч, спустя год будет 22 тысячи. Численность популяции растет и растет, словно сумма, которая положена на сберегательный счет, предполагающий капитализацию процентов.

Впрочем, экологи давно уже поняли, что им необходимо нечто более сложное. Ученый, который хочет что-то узнать о реальных рыбах в реальном водоеме, должен найти функцию, которая учитывала бы жестокую реальность, например угрозу голода или соперничество в стае. По мере роста популяции истощается запас пищи. Размеры небольшой стаи быстро растут, а чересчур большая стая сокращается. Или возьмем японских жуков. Попробуйте каждый год 1 августа выходить в сад и подсчитывать их численность. Чтобы упростить задачу, не принимайте во внимание птиц или болезни данного вида насекомых – учтем лишь имеющийся запас пищи. Выяснится, что жуки активно размножаются, когда их мало, но стоит им чересчур расплодиться, как они объедают весь сад и после этого гибнут от голода.

В мальтузианской схеме неограниченного увеличения численности популяции значение линейной функции роста всегда будет увеличиваться. Схема же, более приближенная к жизни, должна включать в себя дополнительный фактор, сдерживающий рост, если популяция уже и так велика. Наиболее подходящей кажется функция, которая будет резко возрастать при небольших размерах популяции, сводить рост ее численности примерно к нулю при средних размерах и убывать при быстром размножении особей. Пользуясь ею из раза в раз, эколог может наблюдать, как ведет себя популяция на протяжении длительных периодов времени – предположительно, стремясь к состоянию равновесия. Успешно позаимствовав все необходимое из математики, эколог будет рассуждать примерно так: «Мы имеем уравнение. Вот переменная, являющаяся коэффициентом воспроизводства. Вот коэффициент естественной смертности. А вот переменная, которая служит коэффициентом смертности, обусловленной внешними причинами, в том числе голодом и нападением хищников. Смотрите: популяция будет расти с такой-то скоростью, пока не достигнет такого-то уровня равновесия».

Но как найти подобную функцию? Тут могут подойти многие уравнения. Вероятно, проще всего модифицировать линейную мальтузианскую модель: х_next = rх (1 − x). И снова величина r – коэффициент роста, который можно увеличить или уменьшить. Новый член (1 − x) удерживает рост в определенных границах, поскольку увеличение x приводит к уменьшению (1 − x)^[107]. Имея калькулятор, можно задать начальное значение, выбрать коэффициент роста и вычислить результат – численность популяции в следующем году.

Популяция достигает равновесия после роста, чрезмерного увеличения численности особей и его снижения.

К 1950-м годам некоторые экологи уже использовали варианты рассмотренного выше уравнения, известного как логистическое разностное уравнение^[108]. В частности, Уильям Эдвин Рикер из Австралии применил его для оценки реальных рыбных промыслов. Ученые поняли, что коэффициент роста r является важной характеристикой модели. В физических системах, откуда, собственно, и были позаимствованы подобные уравнения, данный параметр отвечал количеству теплоты, или силе трения, или еще какой-нибудь непонятной величине, воплощающей нелинейность. Применительно к пруду с рыбами он должен соответствовать плодовитости рыб, способности популяции расти и вымирать (так называемому репродуктивному потенциалу). Вопрос заключался в том, как именно этот параметр влияет на дальнейшую судьбу изменяющейся популяции. Очевидно, что небольшое значение параметра повлечет за собой стабилизацию числа особей на относительно невысоком уровне, а значение побольше – на относительно высоком. Это справедливо для многих значений, но не для всех. Время от времени исследователи, и Рикер в их числе, наверняка использовали слишком большие значения – и должны были увидеть хаос.

Когда числа начинают странно себя вести, они доставляют человеку, вооруженному механической счетной машинкой с ручным приводом, изрядные неприятности. Конечно, числа не растут до бесконечности, но они и не сходятся к какому-то пределу. Впрочем, ни один из экологов 1960-х годов, по всей видимости, не был склонен (а может, им не хватало упорства) долго возиться с числами, которые отказываются к чему-либо сходиться. Так или иначе, колебания численности популяции давали экологам повод предположить, что происходят они вокруг некоего скрытого уровня равновесия. Считая последнее весьма важным, экологи даже не предполагали, что никакого равновесия может и не быть.

Справочники и учебники, посвященные логистическим уравнениям и их более сложным вариантам, не содержали, как правило, никаких указаний на возможные проявления неупорядоченности^[109]. Джон Мэйнард Смит в классической работе «Математические идеи в биологии», вышедшей в 1968 году, так определил возможные перспективы развития: численность популяции часто является величиной почти постоянной или колеблется вокруг предполагаемого положения равновесия «с весьма регулярной периодичностью». Автор не был столь наивен, чтобы допускать отсутствие неупорядоченного поведения в жизни реальных популяций. Он лишь полагал, что с описанными им математическими моделями такое поведение не имеет ничего общего. Будь это иначе, биологи избегали бы пользоваться подобными моделями. Если модель не оправдывала ожиданий своего создателя относительно реального положения дел в популяции, расхождение всегда можно было объяснить тем, что какая-то величина (возрастной состав популяции, специфика ареала или географической среды, соотношение полов) осталась неучтенной.

Но что важнее всего, в глубине души экологи всегда были склонны списывать неупорядоченность числового ряда на несовершенство счетной машинки или недостаточную точность таких вычислений^[110]. Интерес представляли устойчивые решения, порядок казался лучшей наградой. В конце концов, процедура подбора нужных уравнений и их решения требовала известных усилий. Никто не хотел впустую тратить время на ошибочные изыскания, не выявлявшие стойкой тенденции, и ни один опытный эколог не забывал, что его уравнения не более чем примитивная версия реальных явлений. На упрощения шли ради моделирования упорядоченности. Стоило ли преодолевать трудности, чтобы узреть хаос?

Позже скажут, что Лоренца сделал известным Джеймс Йорк и он же дал науке о хаосе ее нынешнее имя. Вторая часть этого утверждения справедлива.

Йорк был математиком, но предпочитал считать себя философом, хотя это и таило в себе некоторую опасность. Остроумный и велеречивый, всегда слегка лохматый, он обожал такого же всегда слегка лохматого Стива Смейла. Подобно многим, Йорк признавал, что понять Смейла непросто. Однако в отличие от большинства коллег он знал, почему же так трудно постичь логику Стива. Когда Йорку было двадцать два, он поступил в Физико-технологический институт при Мэрилендском университете (а позже его и возглавил). Он относился к числу тех математиков, которые во что бы то ни стало стремятся претворить свои идеи в жизнь, чтобы те принесли пользу. Написанный им доклад о распространении гонореи убедил федеральные власти в необходимости изменить стратегию контроля заболеваемости^[111]. Во время топливного кризиса 1970-х годов он выступил в суде штата Мэриленд с весьма корректными (но не слишком убедительными) аргументами в пользу того, что ограничение продаж бензина лишь усугубит ситуацию^[112]. Когда в эпоху антивоенных выступлений правительство опубликовало сделанные с самолета-шпиона фотографии – редкие группки людей вокруг монумента Вашингтону в разгар акции протеста, – Йорк проанализировал фотографию и по форме тени, отбрасываемой монументом, установил, что в действительности снимок был сделан на полчаса позже, когда митингующие уже расходились^[113].

Работая в институте, Йорк наслаждался непривычной возможностью заниматься вопросами, выходящими за рамки традиционных областей исследования, и постоянно консультироваться со множеством представителей других дисциплин. Как-то одному из них, посвятившему себя изучению динамики жидкостей, попалась на глаза статья Лоренца «Детерминированное непериодическое течение», написанная в 1963 году. С тех пор минуло девять лет. Будучи очарован работой Лоренца, физик вручал копию статьи всем, кто выражал готовность взять ее. В числе прочих копию получил и Йорк.

Статья обладала необъяснимой магией^[114]. Это было то самое, что Йорк бессознательно, но давно искал. Математик мог бы назвать статью шокирующей: начать с того, что хаотическая система не вписывалась в весьма оптимистичную первоначальную классификацию Смейла. Йорк разглядел в работе Лоренца не только математику, но и живую физическую модель – картину движущейся жидкости – и сразу же понял: нужно, чтобы ее увидели физики. Смейл повернул математику лицом к физическим проблемам, хотя, как Йорк хорошо понимал, язык математики представлял собой серьезный барьер коммуникации. Вот если бы в академическом мире существовала дисциплина, удачно совмещавшая в себе черты физики и математики… Но ее не было. Хотя работа Смейла о динамических системах несколько сократила пропасть между двумя областями знания, математики и физики по-прежнему говорили на разных языках. Как заметил однажды физик Марри Гелл-Манн: «Сотрудникам факультета знаком тот типаж исследователя, которого математики воспринимают как знающего физика, а физики – как опытного математика. Как правило, никто не хочет видеть таких людей рядом с собой»^[115]. Слишком разными были стандарты этих двух профессиональных областей: математики доказывали теоремы путем логических рассуждений, физики подходили к доказательству с более тяжелым инструментарием. Различны были как объекты исследования, так и рассматривавшиеся примеры.

Смейла вполне мог удовлетворить следующий пример: выбрав число, например, дробь больше нуля, но меньше единицы, нужно удвоить его, а затем, отбросив целую часть, находящуюся слева от запятой, повторить процедуру. Поскольку большинство чисел иррациональны и непредсказуемы в мельчайших деталях, результатом таких действий станет последовательность случайных чисел^[116]. Физик не увидит здесь ничего, кроме очередной математической причуды, совершенно бессмысленной, слишком простой и чересчур абстрактной, чтобы из нее можно было извлечь какую-то пользу. Но Смейл тем не менее чувствовал, что такой математический прием отвечает сущности многих физических систем.

Для физика разумным примером является дифференциальное уравнение, которое можно записать в простой форме. Ознакомившись со статьей Лоренца, которая ждала своего часа в глубинах метеорологического журнала, Йорк увидел: это именно то, что физики поймут. Он направил копию Смейлу, проставив на видном месте свой адрес, чтобы получить статью обратно^[117]. Смейл изумился, обнаружив, что безвестный метеоролог десятью годами раньше обнаружил ту неупорядоченность, которую он сам посчитал однажды математически невероятной. И, сняв множество копий со статьи, Смейл положил тем самым начало легенде об открытии Йорком работы Лоренца, ведь на каждой копии, появлявшейся в Беркли, стоял адрес Йорка.

Йорк же чувствовал, что физиков просто учили не замечать хаос. Между тем в повседневной жизни замеченная Лоренцем «сильная зависимость от начальных условий» таится всюду. Утром человек выходит из дома на тридцать секунд позже обычного. Скинутый сверху цветочный горшок пролетает в нескольких миллиметрах от его головы, а затем человека сбивает грузовик. Или менее грустный пример: пропустив автобус, который останавливается около его дома каждые десять минут, он опаздывает на поезд, курсирующий с часовыми интервалами. Небольшие изменения в дневном графике каждого чреваты далеко идущими последствиями. Бейсболист отбивает подачу одним и тем же отработанным движением, но результаты разные, поскольку в бейсболе все решают дюймы. В науке же дела обстояли по-другому.

Говоря про обучение, нельзя не отметить, что многие преподаватели физики и математики рассказывали и рассказывают о дифференциальных уравнениях, пишут их на доске и объясняют способы решения. Данные уравнения описывают реальность как нечто непрерывное, плавно изменяющееся от места к месту и с течением времени, не разбитое на отдельные пространственные кубики или временные интервалы. Любой студент знает, что решать дифференциальные уравнения не так-то легко, но за два с половиной столетия ученые накопили большой багаж знаний по этой проблеме. Если ответа нет в справочнике, можно воспользоваться одним из известных методов решения, или, как сказал бы специалист, «нахождения решения в замкнутой форме». Не будет преувеличением утверждать, что большинством своих достижений постсредневековая наука обязана именно этим методам. Мы не погрешим против истины, назвав одним из гениальнейших деяний человечества эту попытку смоделировать изменчивый окружающий мир. Но к тому моменту, как ученый овладеет этим инструментом познания природы, освоившись с теорией и весьма сложной практикой, он зачастую перестает обращать внимание на одну деталь: большинство дифференциальных уравнений неразрешимо.

«Если вы можете найти решение дифференциального уравнения, – говорил Йорк, – значит, вы не учитываете хаотичность, поскольку для решения нам необходимы некие инварианты – постоянные величины, которые сохраняются, как, например, момент импульса. Обнаружив их в достаточном количестве, решить уравнение можно. Но тем самым вы исключаете из него возможность хаоса»^[118].

Методы решения таких систем описаны в учебниках, и они на самом деле работают. Тем не менее, сталкиваясь с нелинейной системой, ученые вынуждены или заменять ее линейной аппроксимацией, или искать иной нетрадиционный подход. В учебниках встречаются те редкие нелинейные системы, что допускают явное решение с помощью различных приемов, – но в них как раз нет «сильной зависимости от начальных условий». Нелинейные системы, в которых таится настоящий хаос, редко объясняются и редко изучаются. Их всегда считали отклонениями и старались не принимать во внимание, руководствуясь уже сложившейся практикой. И лишь немногие помнят, что на самом деле отклонением являются поддающиеся решению, понятные линейные системы! Таким образом, мало кто осознаёт, насколько природа нелинейна по своей сути^[119]. Энрико Ферми однажды воскликнул: «В Библии вовсе не сказано, что все законы природы можно объяснить с помощью линейных построений!»^[120] Математик Станислав Улам заметил, что именовать исследование хаоса «нелинейной наукой» – это все равно что называть зоологию «изучением тех животных, что не являются слонами»^[121]. Йорк это понял. «Во-первых, беспорядок существует. Физики и математики стремятся обнаружить некую упорядоченность. „Какой прок в хаосе?“ – недоумевают люди. Однако они должны знать о наличии хаоса, потому что неизбежно столкнутся с ним. Грош цена автомеханику, не имеющему представления о жировом загрязнении клапанов!»^[122] Йорк полагал, что ученые, как и люди, далекие от науки, могут запросто впасть в заблуждение относительно сложности, если они не подготовлены к ее восприятию. Почему инвесторы настаивают на существовании цикличности в колебаниях цен на золото и серебро? Да потому, что периодичность – наиболее сложное упорядоченное поведение, которое они могут представить. Глядя на биржевые сводки, они ищут в беспорядочных скачках курса некий порядок. Так же действуют и экспериментаторы в мире науки, будь то физики, химики или биологи. «В прошлом люди видели хаотическое поведение во множестве ситуаций, – отмечал Йорк. – Допустим, кто-то проводит физический опыт и экспериментальная установка ведет себя нестабильно. Тогда ее пытаются починить или вообще прекращают работу, объясняя нестабильное поведение какими-то шумами или просто неудачностью эксперимента».

Йорк решил, что в работах Лоренца и Смейла есть то, о чем физики еще не слышали. Он написал статью для самого популярного научного издания из тех, где ее могли бы опубликовать, – для American Mathematical Monthly. (Будучи математиком, он не сумел облечь свои идеи в ту форму, которую посчитали бы приемлемой физические журналы; лишь много позже он вступил в сотрудничество с физиками.) Работа Йорка сыграла свою роль, однако в конечном счете наибольшее влияние оказал ее интригующий бунтарский заголовок: «Период три рождает хаос»^[123]. Коллеги советовали Йорку выбрать более строгую формулировку, однако он настаивал на слове, которое даст название целой растущей области исследований детерминированной неупорядоченности. А еще он проконсультировался на эту тему со своим другом Робертом Мэем, биологом по специальности.

Как порой случается, Мэй проник в биологию «с черного хода»^[124]. Сын преуспевающего адвоката, он начинал как физик-теоретик в своем родном Сиднее, в Австралии, затем занимался прикладной математикой в Гарварде, будучи постдоком^[125]. В 1971 году его направили на годичную стажировку в Институт перспективных исследований в Принстоне. Здесь-то он, вместо того чтобы заниматься тем, чем ему следовало, обнаружил себя увлеченно беседующим с биологами Принстонского университета.

Даже сейчас биологи стараются по возможности не прибегать к математике. Те же, кто математику любит и имеет к ней склонность, чаще выбирают саму математику или физику, нежели науки о живой природе. Мэй был исключением из правила. Первоначально его интересы лежали в области абстрактных проблем устойчивости и сложности. Он пытался математически обосновать взаимозависимость этих явлений, существующих в противоборстве и неразрывной связи. Однако вскоре Мэй заинтересовался, казалось бы, несложными вопросами экологии, связанными с поведением отдельных популяций во времени. Невероятно простые модели представлялись ему неизбежным компромиссом. К тому времени, когда Мэй окончательно обосновался на одном из факультетов Принстона (в будущем австралиец станет фактически его проректором по науке), он провел уже не один час, изучая варианты логистического разностного уравнения с помощью математического анализа и примитивного карманного калькулятора.

Как-то, еще в Сиднее, он написал на доске в коридоре уравнение, чтобы над ним подумали аспиранты. Однако уравнение зацепило его самого. «Господи, да что же такое происходит, когда лямбда начинает превосходить точку накопления?» – с напряжением размышлял Мэй^[126]. Он пытался уловить, что случается в тот момент, когда коэффициент роста популяции приближается к критической точке и превышает ее. Подставляя различные значения этого нелинейного параметра, Мэй обнаружил, что возможны коренные перемены в самой сущности системы: увеличение параметра означало возрастание степени нелинейности, что, в свою очередь, изменяло не только количественные, но и качественные характеристики результата. Подобная операция влияла как на конечное значение численности популяции, находившейся в равновесии, так и на ее способность вообще достигнуть последнего.

Когда задавалось низкое значение параметра, простая модель Мэя демонстрировала устойчивое состояние. При высоком же значении устойчивое состояние терялось и численность популяции начинала колебаться между двумя величинами. Наконец, при чрезмерном увеличении параметра поведение той же системы становилось непредсказуемым. Но почему? Что происходило на границах различных типов ее поведения? Мэй не мог этого понять. (Как, впрочем, и аспиранты.)

Он досконально изучил поведение этого простейшего уравнения, проведя численное исследование с помощью программы, причем она была аналогом программы Смейла: он пытался понять это уравнение целиком – не локально, а глобально. Уравнение было проще всего, что когда-либо изучал Смейл. Казалось невероятным, что возможности такой несложной задачи в генерировании порядка и беспорядка не были изучены вдоль и поперек уже давно. Но они не были. На самом деле программа Мэя стала лишь началом. Он рассмотрел сотни значений параметра, приводя систему в движение и наблюдая, где именно ряд чисел придет к фиксированному значению и случится ли подобное вообще. Он сосредоточивал все больше внимания на рубеже перехода от устойчивого состояния к колебательному. У него словно бы был собственный пруд, где он умело контролировал численность рыб. Используя уравнение x_next = rх (1 – x), Мэй увеличивал значение параметра так медленно, как только мог. Если это значение составляло 2,7, численность популяции равнялась 0,6292. По мере увеличения параметра конечный результат так же медленно увеличивался, образуя на графике кривую, плавно поднимавшуюся слева направо.

Неожиданно, когда значение параметра превысило 3, линия раздвоилась. Численность воображаемой стаи рыб в предыдущий и последующий годы перестала быть единой величиной и теперь колебалась между двумя точками. Стартуя с какого-то небольшого значения, она возрастала, а затем начинала колебаться и в итоге приходила к регулярным скачкам вверх и вниз. Небольшой поворот воображаемой рукоятки – небольшое увеличение параметра – еще раз расщеплял колебания, генерируя ряд чисел, приходивших в конечном счете к четырем различным значениям, каждое из которых повторялось с регулярностью раз в четыре года^[127]. Теперь компьютерная популяция Мэя увеличивалась и убывала в регулярном четырехлетнем режиме. Длительность цикла вновь выросла в два раза – сначала с одного года до двух, а затем до четырех. И снова это поведение оказывалось устойчивым: какова бы ни была начальная численность популяции, с течением времени она сходилась к одному и тому же четырехлетнему циклу.

Как Лоренц и открыл десятилетием ранее, построение графика – единственное, что позволяет обнаружить в указанных результатах хоть какой-то смысл и представить их наглядно. Мэй сделал предварительный набросок, чтобы охватить все типы поведения системы при различных параметрах. Для значений параметра, возраставших слева направо, была выбрана горизонтальная ось; для численности популяции отводилась вертикальная. Каждое из значений параметра было представлено точкой, обозначавшей конечный результат после достижения системой равновесия. Слева, там, где значения еще были небольшими, результат являл собой лишь точку. Таким образом, изменения параметра отобразились в виде линии, поднимавшейся плавно слева направо. Когда значение параметра миновало первую критическую точку, Мэю пришлось вычертить кривую для двух популяций, поскольку линия раздвоилась, образовав искривленную букву Y или подобие вилки. Такое расщепление соответствовало переходу популяции от однолетнего цикла к двухлетнему.