Математика за 30 секунд – Коллектив авторов

Книга всем хороша. Офигительно красивая, прямо подарочная. Охватывает широчайший круг математических вопросов.Однако есть у неё и недостатки.Недостаток 1

Те, кто книгу издавал, явно сами её не читали. Пример:Знак «5» является важнейшим символом в математике. Он устанавливает равенство двух величин по обе стороны от него

(стр. 75)Недостаток 2

Имеется масса загадочных утверждений, никак не поясняемых:Целые числа могут делиться на дроби, причем десятичные дроби выражают это деление наиболее точно.

…

Тогда как логарифмический рост приводит к резкому уменьшению числа, рост степени приводит к его взрывному увеличениюНедостаток 3

Полно всяческих перепутаниц и абсолютно ложных утверждений. Не знаю, были ли они в оригинале или это подарок переводчика, но вот:Евклид даже вывел формулу, согласно которой два любых квадрата в сумме образуют третий квадрат.

(стр. 30)У целых чисел есть такая особенность: если сложить или перемножить два целых числа или даже вычесть из одного второе, то результат тоже будет целым числом, а если разделить одно на другое, то результат необязательно будет целым. С другой стороны, мы можем разделить одно натуральное число на другое (конечно, за исключением нуля) и получим в результате также натуральное число. Эта отличительная особенность натуральных чисел позволила именовать их множество полем

(стр. 85)Топологию путают с топографией, многоугольники называют полигонами и прочее в том же духе.Недостаток 4

Какая-то общая догматичность.

Откуда что берётся? По какой причине я должен всему этому верить? (я не об ошибках, а в принципе). Почему из необъятного множества математических красот выбрали именно эти, а не какие-то другие?

Например, целая глава посвящена золотому сечению. Спросите любого математика, часто ли ему приходится иметь дело с этим самым сечением. Ответом будет «никогда». Зато художник прочитает вам о нём целую лекцию.

Ну и совершенно невозможно рассказать о гипотезе Римана, ограничиваясь 500 словами. Идея про «30 секунд» порочна в основе своей.Книга похожа на рекламный проспект и, как и бо́льшая часть рекламы, рассчитана на идиота, который будет время от времени разевать рот и кричать «вау». Таких не найдётся – рубль ставлю.

Жуть. Тех, кто такое издаёт, надо подвергать суду присяжных. Я бы голосовал за суровый вердикт: мужчин повесить за гениталии, женщин отправить на кухню.

Предисловие. Ни один нормальный человек не станет читать такую неприлично длинную рецензию. (Ну, может быть, один, максимум парочка…) Поэтому как только надоест (уже́?), рекомендую сразу же перейти к «Заключению».Давно мне попадались на глаза издания из этой серии, привлекая внимание заманчивым обещанием помочь быстро узнать (или освежить в памяти) важнейшие понятия и факты из разных областей знания. Ввиду очевидно рекламного характера названия и трудновыполнимости обещаний с обложки, решил купить на пробу (по случаю распродажи) выпуск, посвящённый моей специальности, дабы оценить общее качество издания на хорошо знакомом материале в надежде экстраполировать выводы на другие издания серии. Для порядка скажу пару слов об оформлении. Оно достойно всяческих похвал: тонкий томик довольно большого формата напечатан на плотной глянцевой мелованной бумаге, снабжён симпатичными цветными иллюстрациями и заключён в твёрдый переплёт с приятной шероховатой обложкой. Ну да и хватит о глупостях.Начнём с начала, то есть с названия. Словосочетание «Математика за 30 секунд» очевидно не сто́ит понимать буквально, поэтому читаем подзаголовок: «50 величайших теорий математики, по 30 секунд на каждую». Издание действительно состоит из пятидесяти статей, каждая из которых имеет объём порядка тысячи печатных знаков, так что «30 секунд» можно понимать буквально. Что касается «величайших теорий», судите сами, привожу несколько заголовков статей: «Сложение и вычитание», «Умножение и деление», «Степени и логарифмы» и даже «Готфрид Лейбниц» (я уж молчу о статьях типа «Кубик Рубика» и «Оригами»). Не знаю как у вас, а у меня язык не повернётся назвать что-либо из перечисленного «величайшей теорией», да и теорией вообще. Большинство статей посвящено просто элементарным понятиям, широко известным задачам, забавным предметам или кратким биографическим справкам. Ну да ладно, не в рекламном заголовке дело; каков же собственно контент?Из вышесказанного уже ясно, что объём текстовой части составляет порядка пятидесяти тысяч символов (50 статей по «килобайту»). Поскольку в выходных данных анонсировано 160 страниц (да ещё широкого формата – 18×23 см), такой скромный объём текста может удивить. Разгадка кроется в дизайне: почти каждая нечётная страница отдана под иллюстрации (симпатичные, но как правило совершенно не информативные); на чётных же страницах текст статьи занимает около четверти площади, а остальное – широченные поля с перекрёстными ссылками, так называемыми «3-секундными биографиями» (состоящими из полного имени, года рождения и года смерти), подписи к рисунку и прочей «ценной» информацией. В итоге суммарный объём текста статей эквивалентен тоненькой брошюрке небольшого формата страниц на 40 (эдакому автореферату, напечатанному на десяти согнутых пополам листах формата A4). Впрочем, это не повод для волнения: нам ведь обещали тридцатисекундные статьи, так что краткость в данном случае, как говорят айтишники, «не баг, а фича».Возможно, в этих пятидесяти тщательно отобранных и вдумчиво составленных статьях чудесным образом кристаллизуется самая суть математики, что, разумеется, потребовало от многочисленных авторов титанического интеллектуального труда, позволившего отделить зёрна от плевел, отточить формулировки избранных понятий, оптимально использовав ограниченный жёсткими рамками объём текста?.. Как бы вам сказать… Не совсем. Честно говоря, подбор материала выглядит довольно хаотичным, изложение – непоследовательным и небрежным, а иллюстрации, как уже упоминалось, явно не из разряда “worth a thousand words”. Впрочем, это моё субъективное мнение, но вот и объективный показатель: многие фрагменты текста многократно повторяются (причём без видимых причин), что уже никак не согласуется со стремлением вместить максимум смысла в условленный объём (как будто усилия авторов были направлены не на сжатие, а на раздувание текста). Но даже это всё ещё не беда. Давайте перейдём к самому важному – собственно «смыслу».Тут необходимо сделать маленькое примечание. Речь идёт о конкретном русскоязычном издании; я не знакомился с оригиналом и не пытаюсь оценить его качество. Вероятно, весьма значительная часть указанных ниже проблем связана исключительно с переводом на русский язык, но вопрос разделения ответственности лежит далеко за пределами этой (увы, не такой уж) короткой рецензии, так что оставим его ответственным сотрудникам издательств и будем рассматривать издание как конечный продукт доступный русскоязычному читателю.Издание (всё же не поворачивается язык назвать его книгой) изобилует всякого рода странностями от забавных курьёзов до откровенного математического вранья. (Иногда смысл очевидно искажён и легко угадывается, в других случаях не так уж просто догадаться, какая мысль могла скрываться под причудливым набором слов.) Постараюсь пояснить это утверждение несколькими примерами из текста. (Книга частично доступна в Google Books, так что любой желающий может легко проверить точность цитирования.)

• «Целые числа могут делиться на дроби, причем десятичные дроби выражают это деление наиболее точно.» (с. 14) Что значит «делиться на дроби»? Делимость обычно определяется для целых чисел. Следует ли считать, что 5 «делится» на 1/4 (результат целый), но не на 3/4 (результат дробный)? Вряд ли. Вероятно, речь идёт вовсе не о делимости чисел, а лишь о разделении целого на несколько частей (например, разрезании пиццы). Ещё более любопытно, в каком смысле «десятичные дроби выражают это деление наиболее точно». Можно подумать, что десятичная дробь “0.25” в каком-то смысле более точно выражает разделение объекта на четыре равных части, чем обыкновенная дробь “1/4”. Это очевидная нелепость, т. к. любая (конечная) десятичная дробь непринуждённо переписывается в обыкновенную без потери точности. Буду рад увидеть в комментариях разгадку (или хотя бы догадку).Ещё парочка примеров.

• «Евклид даже вывел формулу, согласно которой два любых квадрата в сумме образуют третий квадрат.» (с. 30) К своему стыду, я опять не готов привести разумное объяснение этому утверждению. Если речь о целых (или рациональных) числах, то сказанное очевидно неверно (сумма квадратов двух и трёх не является квадратом целого (или рационального) числа). Для действительных же чисел утверждение тривиально (любое положительное число является квадратом действительного числа). Какую же формулу всё-таки вывел Евклид?..

• «В результате прибавления нуля к числу получается то же самое число, что подтверждает способность нуля к сложению» (с. 40) В чём состоит «подтверждение»? Мы прибавляем ноль, убеждаемся, что это у нас получилось и констатируем факт возможности сложения с нулём? Забавно.

• «логарифмический рост приводит к резкому уменьшению числа» (с. 44) Хм… рост приводит к уменьшению? Мы всё ещё читаем научно-популярное издание, или задремали и видим сны по мотивам шедевров Льюиса Кэрролла?..Всё это может казаться до определённой степени забавным, пока мы не находим несколько разнородных образцов «качества» на одном развороте.

• «Также отдельное время он уделил разработке <…> принципов теории относительности» (с. 29) Как вы думаете, о ком здесь идёт речь? Не угадали. Разворот посвящён биографии Блеза Паскаля. Если сообщение в цитате кажется вам удивительным, разгадку вы найдёте в ироническом описании горе-учёного из замечательной книжки Елены Павловой: «Вообще, судя по всему, наука в его понимании являла собой сплав оккультизма, который он деликатно называл “еще не открытые нами законы нефизических свойств материи”, учебников по физике и химии за седьмой класс, а также слухов о теории относительности, которую он не только умудрился приплести к божественному слову и цветущей от ругательств воде, но и пару раз перепутать с теорией вероятности».

• Другой забавный факт (доселе неизвестный) из биографии великого француза (с. 28): Паскаль в 1662-ом умер в Париже, а в 1668-ом «начинает работу над “Мыслями”, собранием философских и теологических записок». Ничего не скажешь, подходящее занятие для вышедшей «в отставку» бессмертной души.

• Наконец, просто о качестве текста (привет корректору): «Пари касалось существования Бога и тому,стоить ли человеку ставить на это утверждение.» (с. 29) Дело не в опечатках как таковых, они есть практически везде, но три разнородных опечатки в паре соседних слов – это явный показатель.Вы можете (проявив изрядное снисхождение к тексту) возразить, что ведь это всё-таки более или менее мелкие досадные ошибки, опечатки, недоразумения… Возможно, если закрыть на них глаза, можно извлечь из текста какой-нибудь прок? Не могу дать вам на это твёрдого ответа, такую возможность нельзя исключить, но надежды довольно быстро вянут по мере дальнейшего знакомства с материалом. Посмотрим, например, во что превращается определение одного из самых фундаментальных понятий математики.

• «Натуральное число. Также известно как целое, или исчисляемое число. Натуральное число – это любое положительное недробное число расположенное на числовой прямой или в континууме. Однако до сих пор нет единого мнения, является ли 0 натуральным числом или нет.» (с. 135)Начнём с конца. Внимательного читателя может удивить, почему же могучий коллективный разум математиков «всех времён и народов», решивший огромное множество сложнейших проблем, беспомощно остановился перед простейшим вопросом. Нам ведь только что дано определение натурального числа. Давайте применим его к числу 0 и посмотрим, к каким непреодолимым трудностям это приводит. «Натуральное число – это любое положительное недробное число расположенное на числовой прямой или в континууме.» Является ли ноль положительным числом? Нет (это единственное действительное число, не являющееся ни положительным ни отрицательным, что, по-моему, достойно всяческого уважения, а-то и преклонения). Всё, проблема решена: в рамках данного определения ноль не является натуральным числом. Давайте, интереса ради, проверим, является ли натуральным число π. 1) Оно положительно. 2) Можно было бы забуксовать на проверке «недробности», но, к счастью, в тексте есть готовый ответ: «недробные числа, как π» (с. 14), так что «недробность» присутствует (что бы она ни означала в причудливой терминологии текста). 3) Расположено ли π на числовой прямой (или, прости господи, в континууме)? Очевидно, расположено не в меньшей степени, чем любое другое действительное число. То есть все три условия данного авторами критерия выполнены. Ответ: π является натуральным числом.Вас что-нибудь смущает? Как будто что-то тут не так. На самом деле «не так» в данном случае всё. Натуральные числа никому не известны как целые, потому что не все целые числа натуральны; понятия «исчисляемое число» в математике нет вовсе, но это всё цветочки. Абсурдность данного «определения» состоит в само́й попытке определить натуральное число через понятие действительного числа («числовой прямой» в терминологии авторов). Действительные числа конструируются на основе натуральных (с использованием ряда других глубоких фундаментальных понятий, включая понятие предела). Попытка определить натуральные числа через действительные не только ведёт к порочному кругу, но и примерно в той же степени нелепа, как попытка определить число 2 как показатель степени в выражении эквивалентности массы и энергии (E=mc²). Оставлю вопрос о том, как же в действительности определяется понятие натурального числа, в качестве темы для увлекательного исследования (тем, кому об этом не рассказывали на лекциях по матанализу); скажу лишь, что вводится это понятие аксиоматически, и начинать ли натуральный ряд с нуля или с единицы – дело вкуса, удобства и договорённости (примерно так же, как вопрос, считать ли единицу простым числом; только в последнем случае вкусы сошлись относительно быстро, а в первом не сошлись).Думаете, подобные проблемы возникают только с определением высоких абстракций? Ничуть. Вот, например, как по мнению авторов формулируется одна из важнейших (в том числе для практики) теорем теории вероятностей.

• «Центральная предельная теорема. В теории вероятности центральная предельная теорема утверждает, что если случайные переменные величины (например, при игре в кости) выбираются достаточное количество раз подряд, то их распределение приближается к нормальному, а график результатов будет представлять собой гауссову кривую.» (с. 55) Боже упаси её такое утверждать! (Равно как и студента на экзамене.) Смею вас уверить, что как бы долго вы ни метали игральную кость, распределение выпадающих чисел останется равномерным и нисколько не приблизится к нормальному (1 и 6 не начнут выпадать значительно реже, чем 3 и 4).Хорошо, последняя надежда. Может быть, хотя текст и не позволяет ничего в точности понять, но хотя бы даёт какое-то интуитивное представление о чём-нибудь «высоком»? Опять же, не стану кривить душой, отмахиваясь от подобной возможности. Беда лишь в том, что совершенно непонятно, может ли создавать полезные интуитивные представления текст, в котором все ключевые слова перепутаны. О чём вам говорят следующие цитаты?

• «Пуанкаре полагал, что единое трехмерное многообразие без отверстий станет называться “гиперсферой”, старшей сестрой обычной сферы. В 2003 году эта гипотеза была доказана Григорием Перельманом.» (с. 146) Выходит, наш гениальный соотечественник умудрился доказать, что некий математический объект «станет называться» некоторым термином?

• «Он предположил, что все необходимые нули лежат на вертикальной прямой, которая делит действительную ось в отношении ½ и дублируется “критической линией”.» (с. 150) Серьёзно? Одна прямая делит другую (бесконечную) прямую «в отношении ½», да ещё и «дублируется» для большей надёжности третьей прямой?

• «Верный результат научного исследования. Точный положительный результат, данный, например, при установлении медицинского диагноза. Верные утверждения отличаются от ошибочных тем, что верный результат – результат правильный, справедливый, тогда как ошибочный результат возникает в результате неточности или оплошности в ходе научного исследования. (См. ошибочный результат научного исследования).» (с. 54) Прошу прощения, если у кого-то определение «верного результата» вызовет истерику, клянусь, это не я придумал (я бы так не смог). Ни за что не могу поручиться, но мой best guess состоит в том, что речь здесь идёт об оценках true positive и false positive – понятиях, имеющих довольно мало отношения к фразе, вынесенной в заголовок. Вопрос лишь в том, способно ли такое «объяснение» дать хоть какое-нибудь понимание о предмете тому, у кого этого понимания на момент чтения нет?..Если каким-нибудь чудом вы дочитали до этого места, рискну предположить, что вы испытываете утончённое наслаждение от издевательства над здравым смыслом (ну, или какие-нибудь другие положительные эмоции от приведённых цитат). Поэтому в качестве бонуса привожу ещё ряд «отборных» цитат. Все они взяты из одной (пятой) части рассматриваемого «произведения». На этот раз избавлю вас от своих занудных комментариев.

• «Гиперболическая геометрия. Разновидность неевклидовой геометрии, в которой постулат о параллелизме, представленный в евклидовой геометрии, заменен утверждением, что существует по меньшей мере две линии на плоскости, которые не пересекают третью линию.» (с. 92)

• «Гипотенуза обладает фундаментальным значением в теореме Пифагора.» (с. 92)

• «Окружность. Непрерывная линия, обозначающая изогнутый контур фигуры» (с. 93)

• «В книге 9 он [Евклид] возвращается к теореме Пифагора и разрабатывает формулу, в которой к квадрату одного целого числа прибавляется квадрат другого целого числа; <…> в результате чего вычисляются стороны прямоугольного треугольника.» (с. 94)

• «Являясь наиболее мистическим числом, π всегда вызывала жгучий интерес ученых к изучению ее свойств в плане подсчета количества знаков после запятой» (с. 96)

• «В пифилологии, “пиема” – это поэма, разделенная на части так, что буквенная длина каждого слова совпадает со значением π.» (с. 96)

• «Архимед первым начал рисовать некое количество полигонов внутри и снаружи окружности» (с. 96)

• «В самом деле, в треугольнике, образуемом одной точкой на Полярной Звезде и двумя точками на экваторе, все три угла составляют 180°!» (с. 102)

• «Герман Минковский показал, что геометрия Вселенной изначально является гиперболической. После рассмотрения этого утверждения с той позиции, что все скорости ниже скорости света эквивалентны, была открыта гиперболическая природа движения.» (с. 106)

А что если я вам скажу, что последняя цитата и вправду обладает смыслом? Можно ли в это поверить и попытаться этот смысл понять после прочтения всех предыдущих цитат? Боюсь, под их влиянием сознание расширяется настолько, что разница между смыслом и бессмыслицей полностью стирается. Можно лишь с надеждой (сожалением?) предположить, что это явление вре́менное.Заключение. «Математика за 30 секунд» – замечательная книга. Однако замечательна она в несколько нетрадиционном смысле. «Научно-популярное издание» по математике, где вместо «прямая» пишут «линия», вместо «площадь» – «область», а вместо «замкнутый» – «закрытый», можно эффективно использовать для проверки твёрдости имеющихся знаний о предмете и способности восстанавливать первоначальный смысл по крайне искажённой форме (можно, например, давать это задание школьникам или студентам). Также, судя по всему, издание можно использовать для медитации (в нём много внешне бессмысленных фраз, подобных буддийским коанам), для совершенствования навыков управления негативными эмоциями (о, это так порой непросто!) и многого другого. Однако последствия чтения данного манускрипта непредсказуемы, так что любые эксперименты на себе (и тем более детях) следует проводить лишь с чётким пониманием своей ответственности за возможные риски.

Эта книга о том, как же сложно рассказать что-то внятное о математике за 30 секунд. На первых страницах так и написано – «мимолетный взгляд на мир, который математики видят каждый день». С одной стороны – не беда, такие краткие «путеводители» частенько выхватывают самую суть и неплохо знакомят читателя с тем миром, о котором хочет рассказать автор. Но в этом случае получилось не так хорошо, как хотелось бы.

Описано в книге 50 теорий, каждой отведено по 2 страницы. Оформлено все это дело весьма хорошо – спору нет. Но создается ощущение, что красота здесь поставлена во главу угла, ибо одну из двух страниц бессовестно занимает красочная иллюстрация, информационная ценность которой неуклонно стремится к нулю. Она больше похожа на красивую обложку, но ведь таких обложек в книге почти 50%!

Ну а в остальной части книги ютятся описания самих теорий. Суховатые такие описания, которые, к тому же, с двух боков сдавлены далеко не самыми интересными фактами, разными датами и прочими, ни о чем толком не рассказывающими вещами.

Если захочется взглянуть на математику «только одним глазком», то «Математика за 30 секунд» – хороший выбор. А так…