Константин Владимирович Ефанов
Решение проблемы турбулентности, отсутствие аналитического решения уравнений Навье-Стокса / The solution to the pboblem of turbulence, lack of analytical solution of navier-stokes equations

Полная версия

Введение

В настоящей работе доказана невозможность существования и гладкости решения уравнений трехмерной задачи Навье-Стокса в пределах поля R3.

Институтом Клея этой задаче присвоение наименование задачи тысячелетия в числе некоторых других.

Доказательство выполнено на основании применения теоремы Курата Гёделя о неполноте, использован системный подход.

Рассмотрено физическое обоснование вывода уравнений Навье-Стокса, физические процессы течения турбуленоного потока. Для сопоставления и применения теоремы Гёделя двум указанным физическим процессам назначен уровень системы.

Показано, что уравнения Навье-Стокса не предназначены для решения проблем системы, соответсвующей уровню пространства R3.

Проблема решения уравнений Навье-Стокса

Уравнения Навье-Стокса, как показано в работе [1,с.73] Л.Н. Ландау, получаются записью баланса поступающей и выходящей жидкости с учетом диссипации энергии при вязком трении в жидкости. Вместе с тем, Л.Д. Ландау было отмечено, что впервые формулировка уравнений для несжимаемой жидкости была записана на основе модельных представлений Анри Навье (о молекулярных взаимодействиях).

Запишем уравнение Навье-Стокса для сжимаемой жидкости:

Для сжимаемой жидкости в уравнении

Обозначения в уравнении и его вывод – см. работу Л.Н. Ландау [1].

А.Н. Колмогоров в работе [2,с.294] показал физическую модель турбулентности (в соответствии с Тейлором и Ричардсоном), состоящую В накладывании различных по масштабу турбулентных пульсаций на осредененный поток. Наибольшим масштабом является мастшаб L «пути перемешивания», наименьшим масштабом является масштаю λ, на котором вязкость оказывает влияение. Пульсации от курупных масштабов передают энергию пульсациям меньших масштабов. В результате этого возникает поток энергии, диссипация которой происходит за счет сил вязкого торения на масштабе λ. Колмогоров предложил следующие уравнения турбулентного движения исходя из локальных свойств турбулентности [2,с.295]:

В уравнениях – обозначения согласно цитируемой работе А.Н. Колмогорова.

Л.Д. Ландау отметил [2,с.296], что эти уравнения верны для локальной струкруты турбулентности, однако в турбулентном потоке наличие ротора скорости ограничивается конечной обдастью пространства и уравнения должны показывать именно такое распределение турбулентных вихрей.

Анри Навье в работе [3] при формулировке уравнений движения жидкости исходил из записи для одной точки пространства сплошной среды.

Ландау называет представления Анри Навье модельными [2,с.73] (в сноске).

Покажем модель физической картины течения, на которой основаны уравнения Навье:

То, что описывается этой моделью, для этого может быть найдено решение уравнений Навье-Стокса. Этой моделью прекрасно можно описать частные случаи.

Сравним модель движения из работы А.Навье с моделью турбулентности, предложенной А.Н. Колмогоровым.

Модель Колмогорова:

Некоторые авторы указывают, что уравнения Навье-Стокса содержит турбулентность. Как видно, это не так. Уравнения Навье-Стокса могут быть применены на самом низком уровне модели Колмогорова. В целом, модель Анри Навье физически некорректна по сравнению с верной моделью Колмогорова. О её верности отметил Ландау [1,с.296] (на рассмотрении присутствовал Капица).

Главная проблема – уравнения Навье не предназначены для турбулентности и решения на пространстве R3, где турбулентность по-умолчанию есть (хотя и не оговаривается).

Метод DNS работает почти как модель Колмогорова, только энергия считается не сверху вниз, а снизу вверх (от ячеек до интегрального масштаба). Отсюда видно, почему численно легко уравнения Навье-Стокса решаются по DNS.

Объем, для которого составляются уравнения Навье-Стокса выбран с минимальными размерами, обеспечивающими сплошность среды. Однако это не принципиально. Очевидно, что куб несопоставимо меньше пространства R3.

Для куба описание физического процесса состоит в описании поступления в него и выхода из него жидкости, а также влияния вязкости.

Для пространства R3 со сложной структурой турбулентного течения физический процесс намного более сложен и для его описания недостаточно тех описаний, которые применены для куба при выводе уравнений Навье-Стокса!

В существующих попытках решения уравнений Навье-Стокса пространство R3 условно разбивают (дискретизируют) сеткой с кубичиескими элементами.