Рэймонд Смаллиан
Как же называется эта книга?
8. В ящике 4 носка.
9. На вопрос первой задачи ответ утвердительный. Предположим для определенности, что население Нью-Йорка составляет 8 миллионов человек. Если число волос на голове у каждого жителя Нью-Йорка неповторимо, то это означает, что должно существовать 8 миллионов различных целых положительных чисел, каждое из которых меньше 8 миллионов, а это невозможно.
Переходим ко второй задаче. Численность населения Поданка не превышает 518 человек. Действительно, предположим, что в городе Поданк проживает более 518 человек – например, 520 человек. В этом случае должны были бы существовать 520 различных целых неотрицательных чисел, отличных от 518 и меньших 520. Но это невозможно, так как существует ровно 520 целых чисел (и среди них нуль), каждое из которых меньше 520. Следовательно, существует лишь 519 чисел, отличных от 518, которые меньше 520.
Заметим, кстати, что один из жителей Поданка должен быть совершенно лысым. Почему?
10. Не думаю, чтобы рассуждения сторонников любого из двух мнений относительно того, кто убийца, можно было считать «правильными» или «неправильными». В проблемах подобного типа, как мне кажется, одно мнение ничем не хуже и не лучше другого. Лично я считаю, что если кого-нибудь и обвинять в смерти караванщика С, то его недруга А. Если бы я был защитником караванщика В, то обратил бы внимание суда на два обстоятельства: 1) лишить человека отравленной воды не означает убить его; 2) в любом случае действия караванщика В способствовали продлению жизни караванщика С (хотя это и не входило в намерения караванщика В), поскольку смерть от отравления наступила бы быстрее, чем смерть от жажды.
Защитник караванщика А мог бы возразить мне: «Как можно, находясь в здравом уме, обвинять моего подзащитного в отравлении, если С в действительности не выпил ни капли яда?» Как видите, мы столкнулись с поистине головоломной проблемой. Дело усложняется тем, что проблему можно рассматривать с точки зрения морали, права и подходить к ней с чисто научных позиций, используя такое понятие, как причинность. С точки зрения морали и А, и В виновны в том, что замышляли убийство, но наказание за совершенное убийство по строгости несравнимо с наказанием за преступный замысел. Правовая оценка этого дела мне неизвестна. Думаю, что приговоры, вынесенные различными составами присяжных, не были бы одинаковыми. Что же касается научного подхода к решению нашей головоломки, то само понятие причинности затрагивает множество проблем. Мне кажется, что об этой головоломке можно было бы написать целую книгу.
11. Обвиняемые были сиамскими близнецами.
12. Тот из краснокожих, кто повыше ростом, – мать того, кто ростом пониже.
13. Выходя из дома, человек заводит часы и запоминает, в каком положении находятся стрелки. Придя к другу и уходя из гостей, он отмечает время своего прихода и ухода. Это позволяет ему узнать, сколько он находился в гостях. Вернувшись домой и взглянув на часы, человек определяет продолжительность своего отсутствия. Вычитая из этого времени то время, которое он провел в гостях, человек узнает время, затраченное на дорогу туда и обратно. Прибавив ко времени выхода из гостей половину времени, затраченного на дорогу, он получает возможность узнать время прихода домой и перевести соответствующим образом стрелки своих часов.
14. Шкура должна быть белой, так как принадлежит белому медведю, обитающему в Арктике – вблизи Северного полюса. Обычно ответ подкрепляют ссылкой на то, что медведь, о котором говорится в условиях задачи, должен стоять на Северном полюсе. Это лишь одна, но не единственная возможная ситуация. В каком бы направлении ни ступить от Северного полюса, двигаться всегда будешь на юг. Поэтому если медведь находится на Северном полюсе, а охотник – в 100 м к югу от него, то, пройдя 100 м на восток и обернувшись на север, охотник окажется лицом к Северному полюсу. Все это так, но, как я уже говорил, приведенное решение не единственное. Действительно, существует бесконечно много решений. Например, охотник может находиться на параллели длиной 100 м, а медведь – в 100 м к северу от него. Пройдя 100 м на восток, охотник опишет полную окружность вокруг полюса и вернется в исходную точку. Это второе решение задачи. Но охотник может находиться еще ближе к полюсу, на параллели длиной 50 м. Пройдя 100 м, он дважды опишет полную окружность вокруг полюса, и окажется в исходной точке. Но и это еще не все. Охотник может находиться на параллели длиной в ⅓ от 100 м. Трижды обойдя по параллели вокруг полюса, он также окажется в исходной точке. Поскольку аналогичное решение можно построить при любом положительном целом n, то на Земле существует бесконечно много мест, где могла бы разыграться сценка, описанная в задаче.
Разумеется, во всех этих решениях предполагается, что медведь, находившийся достаточно близко от Северного полюса, непременно должен быть белым медведем. Существует, однако, еще одна возможность, хотя она и весьма маловероятна: некий злонамеренный тип умышленно доставил на Северный полюс бурого медведя, чтобы «насолить» автору задачи.
15. Пятак и одна монета достоинством в 10 копеек. Одна монета (десятикопеечная) не пятак.
16. Как может покойник жениться на ком-нибудь?
17. Человек, живущий на двадцать пятом этаже, – лилипут и не может дотянуться до кнопки «25 этаж» на пульте лифта.
Один мой знакомый (о котором никак нельзя сказать, что он умеет мастерски рассказывать анекдоты) однажды рассказывал эту задачу-шутку в компании, где был и я. Начал он свой рассказ так: «В одном доме на двадцать пятом этаже жил лилипут…»
18. Правильнее было бы сказать, что желток желтый.
19. Поезда в момент встречи будут находиться на одинаковом расстоянии от Бостона.
20. Петухи не откладывают яйца.
21. Двадцать.
22. Несовпадения нет: полтора часа по продолжительности не отличаются от 90 минут.
23. Вряд ли стоит хоронить тех, кто уцелел в авиационной катастрофе!
24. Хирург был матерью Артура Смита.
25. К сожалению, я никак не могу припомнить название этой книги, но не беспокойтесь: рано или поздно я непременно вспомню, как же называется эта книга.
III. Рыцари и лжецы
А. ОСТРОВ РЫЦАРЕЙ И ЛЖЕЦОВ
Существует множество хитроумных задач об острове, населенном «рыцарями», всегда говорящими только правду, и лжецами, изрекающими только ложь. Предполагается, что каждый обитатель острова либо рыцарь, либо лжец. Мы начнем с одной хорошо известной задачи этого типа, а затем я приведу серию новых задач, которые придумал сам.
26
Итак, начнем с давно известной задачи. Трое жителей острова (А, В и С) разговаривали между собой в саду. Проходивший мимо незнакомец спросил у А: «Вы рыцарь или лжец?» Тот ответил, но так неразборчиво, что незнакомец не смог ничего понять. Тогда незнакомец спросил у В: «Что сказал А?» «А сказал, что он лжец», – ответил В. «Не верьте В! Он лжет!» – вмешался в разговор островитянин С.
Кто из островитян В и С рыцарь и кто лжец?
27
Когда я впервые встретил предыдущую задачу, мне сразу же бросилось в глаза, что С по существу бездействует, исполняя роль своего рода «бесплатного приложения». Действительно, когда В высказался, то ложность его утверждения можно было бы установить и без вмешательства С (см. решение предыдущей задачи). Следующий вариант задачи позволяет избавиться от «излишеств» в условиях.
Предположим, что незнакомец задал А другой вопрос: «Сколько рыцарей среди вас?» И на этот вопрос А ответил неразборчиво. Поэтому незнакомцу пришлось спросить у В: «Что сказал А?» В ответил: «А сказал, что среди нас один рыцарь». И тогда С закричал: «Не верьте В! Он лжет!»
Кто из двух персонажей В и С рыцарь и кто лжец?
28
В этой задаче два персонажа: А и В. Каждый из них либо рыцарь, либо лжец. А высказывает следующее утверждение: «По крайней мере один из нас лжец».
Кто из двух персонажей А и В рыцарь и кто лжец?
29
Предположим, что А говорит: «Или я лжец, или В рыцарь».
Кто из двух персонажей А и В рыцарь и кто лжец?
30
Предположим, что А говорит: «Или я лжец, или два плюс два – пять». К какому заключению можно прийти на основании этого утверждения?
31
Перед нами снова три островитянина А, В и С, о каждом из которых известно, что он либо рыцарь, либо лжец. Двое из них (А и В) высказывают следующие утверждения:
А: Мы все лжецы.
В: Один из нас рыцарь.
Кто из трех островитян А, В и С рыцарь и кто лжец?
32
Предположим, что А и В высказывают следующие утверждения:
А: Мы все лжецы.
В: Ровно один из нас лжец.
Можно ли определить, кто такой В: рыцарь или лжец?
Можно ли определить, кто такой С?
33
Предположим, что А высказывает утверждение: «Я лжец, а В не лжец».
Кто из островитян А и В рыцарь и кто лжец?
34
Перед нами в очередной раз три островитянина А, В и С, о каждом из которых известно, что он либо рыцарь, либо лжец. Условимся называть двух островитян однотипными, если они оба рыцари или оба лжецы. Пусть А и В высказывают следующие утверждения:
А: В – лжец.
В: А и С однотипны.
Кто такой С: рыцарь или лжец?
35
Перед нами снова трое островитян А, В и С. А высказывает утверждение: «В и С однотипны». Кто-то спрашивает у С: «А и В однотипны?»
Что ответит островитянин С?
36. Небольшое происшествие
Эта головоломка необычна. Кроме того, в основу ее положено подлинное происшествие. Однажды, когда я гостил на острове рыцарей и лжецов, мне встретились два местных жителя. Я спросил у одного из них: «Кто-нибудь из вас рыцарь?» Мой вопрос не остался без ответа, и я узнал то, что хотел узнать.
Кем был островитянин, к которому я обратился с вопросом: рыцарем или лжецом? Кем был другой островитянин? Смею заверить вас, что я предоставил в ваше распоряжение информацию, достаточную для решения задачи.
37
Предположим, что вы находитесь на острове рыцарей и лжецов и набрели на двух его обитателей, лениво греющихся на солнце. Вы спрашиваете одного из них, рыцарь ли его приятель, и получаете ответ (да или нет). Затем вы задаете такой же вопрос второму островитянину и получаете ответ (да или нет). Должны ли оба ответа быть одинаковыми?
38. Эдуард или Эдвин?
На этот раз, прогуливаясь по острову, вы случайно набредете на островитянина, безнадежно увязшего у берега пруда, но сколько ни бьетесь, вам так и не удается извлечь его из тины. Вы помните, что его зовут то ли Эдвин, то ли Эдуард, но не можете вспомнить, как именно. Поэтому вы спрашиваете у островитянина, как его зовут, и слышите в ответ: «Эдуард».
Как зовут островитянина?
Б. РЫЦАРИ, ЛЖЕЦЫ И ОБЫЧНЫЕ ЛЮДИ
В не менее увлекательном виде задач персонажи делятся на три типа: рыцарей, говорящих всегда только правду, лжецов, изрекающих только ложь, и обычных людей, которые иногда лгут, а иногда говорят правду. Предлагаю вам несколько придуманных мною задач о рыцарях, лжецах и обычных людях.
39
Перед нами трое людей А, В и С. Один из них рыцарь, другой лжец и третий – обычный человек (типы людей могут быть перечислены не в том же порядке, в каком выписаны их «имена» А, В и С). Наши знакомые высказывают следующие утверждения.
А: Я обычный человек.
В: Это правда.
С: Я не обычный человек.
Кто такие А, В и С?
40
Предлагаю вашему вниманию необычную задачу. Двое людей А и В, о которых известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец, либо обычный человек, высказывают следующие утверждения:
А: В – рыцарь.
В: А – не рыцарь.
Докажите, что по крайней мере один из них говорит правду, но это не рыцарь.
41
На этот раз А и В высказывают следующие утверждения:
А: В – рыцарь.
В: А – лжец.
Докажите, что либо один из них говорит правду, но это не рыцарь, либо один из них лжет, но это не лжец.
42. Табель о рангах
На одном острове, где живут рыцари, лжецы и обычные люди, лжецы считаются особами низшего ранга, обычные люди – особами среднего ранга и рыцари – особами высшего ранга.
Мне очень нравится следующая задача. Двое людей А и В, о каждом из которых известно, что он либо лжец, либо обычный человек, высказывают утверждения:
А: По рангу я ниже, чем В.
В: Неправда!
Можно ли определить ранг А или В? Можно ли установить, истинно или ложно каждое из этих двух утверждений?
43
Трое людей А, В и С, о каждом из которых известно, что он либо рыцарь, либо лжец, либо обычный человек, высказывают следующие утверждения:
А: В по рангу выше, чем С.
В: С по рангу выше, чем А.
Затем у С спрашивают: «Кто старше по рангу – А или В?» Что ответит С?
В. ОСТРОВ БАХАВА
На острове Бахава женщины во всем пользуются равными правами с мужчинами, поэтому женщин, как и мужчин, называют рыцарями, лжецами и обычными людьми. В глубокой древности одна из правительниц острова Бахава по собственной прихоти издала указ, по которому рыцарю разрешалось вступать в брак только с лжецом, а лжецу – только с рыцарем (следовательно, нормальный человек мог вступать в брак только с обычным человеком). С тех пор в любой супружеской чете на острове Бахава либо оба супруга – обычные люди, либо один из супругов – рыцарь, а другой – лжец.
Следующие три истории происходят на острове Бахава.
44
Рассмотрим сначала супружескую чету – мистера и миссис А. Они высказывают следующие утверждения:
М и с т е р А: Моя жена – не обычный человек.
М и с с и с А: Мой муж – не обычный человек.
Кто такой мистер А и кто такая миссис А – рыцарь, лжец или обычный человек?
45
Предположим, что мистер и миссис А высказали следующие утверждения:
М и с т е р А: Моя жена – обычный человек.
М и с с и с А: Мой муж – обычный человек.
Совпадает ли ответ этой задачи с ответом предыдущей задачи?
46
В этой задаче речь пойдет о двух супружеских парах с острова Бахава: мистере и миссис А, мистере и миссис В. При опросе трое из них дали следующие показания:
М и с т е р А: Мистер В – рыцарь.
М и с с и с А: Мой муж прав: мистер В – рыцарь.
М и с с и с В: Что верно, то верно. Мой муж действительно рыцарь.
Кто каждый из этих четырех людей – рыцарь, лжец или обычный человек и какие из трех высказываний истинны?
РЕШЕНИЯ
26. Ни рыцарь, ни лжец не могут сказать: «Я лжец» (высказав подобное утверждение, рыцарь солгал бы, а лжец изрек бы истину). Следовательно, А, кем бы он ни был, не мог сказать о себе, что он лжец. Поэтому В, утверждая, будто А назвал себя лжецом, заведомо лгал. Значит, В – лжец. А так как С сказал, что В лгал, когда тот действительно лгал, то С изрек истину. Следовательно, С – рыцарь. Таким образом, В – лжец, а С – рыцарь. (Установить, кем был А, не представляется возможным.)
27. Ответ в этой задаче такой же, как в предыдущей, но ход рассуждений несколько иной.
Прежде всего заметим, что В и С не могут быть оба рыцарями или оба лжецами, так как В противоречит С. Следовательно, В и С не могут быть оба рыцарями или оба лжецами: один из них рыцарь, а другой – лжец. Если бы А был рыцарем, то всего было бы два рыцаря. Следовательно, А не лгал и сказал, что среди троих персонажей рыцарь лишь один. С другой стороны, если бы А был лжецом, то утверждение о том, что из трех островитян А, В и С рыцарь лишь один, было бы истинным. Но тогда А, будучи лжецом, не мог бы высказать это истинное утверждение. Следовательно, на вопрос незнакомца А не мог ответить: «Среди нас один рыцарь». Следовательно, В неверно передал высказывание А, из чего мы заключаем, что В – лжец, а С – рыцарь.
28. Предположим, что А – лжец. Если бы это было так, то утверждение «По крайней мере один из нас лжец» было бы ложным (так как лжецы высказывают ложные утверждения). Следовательно, в этом случае А и В были бы рыцарями. Таким образом, если бы А был лжецом, то он не был бы лжецом, что невозможно. Отсюда мы заключаем, что А не лжец, он рыцарь. Но тогда высказанное А утверждение должно быть истинным. Поэтому по крайней мере один из двух персонажей А и В в действительности лжец. Так как А – рыцарь, то лжецом должен быть В. Итак, А – рыцарь, а В – лжец.
29. Эта задача может служить неплохим введением в логику дизъюнкции. Пусть заданы два высказывания р, q. Высказывание «или р, или q» истинно, если истинно по крайней мере одно из высказываний р, q (или оба). Высказывание «или р, или q» ложно, если ложны оба высказывания р, q. Например, если бы я в хорошую погоду сказал: «Либо дождик, либо снег», то мое высказывание было бы ложным, потому что ложны обе его части: и та, в которой говорится о дожде, и та, в которой говорится о снеге.
Именно так принято понимать связку «или» в логике. Именно так мы будем понимать ее на протяжении всей нашей книги. В повседневной жизни союз «или» иногда интерпретируют так же, как в логике (то есть допускают возможность выполнения обеих альтернатив), а иногда понимают в так называемом исключительном смысле (то есть считают, что выполняется одна и только одна из альтернатив, но не обе). В качестве примера «исключительного или» приведу хотя бы такое высказывание: «Я женюсь на Бетти или на Джейн». Предполагается, что альтернативы взаимно исключающие, то есть что я не женюсь на обеих девушках одновременно. С другой стороны, если в учебной программе колледжа сказано, что студенты первого курса должны либо прослушать годовой цикл лекций по математике, либо пройти годичный курс иностранного языка, то вряд ли руководство колледжа станет возражать, если вы захотите прослушать и то и другое! Именно в этом – «включительном» – смысле мы и будем использовать логическую связку «или».
Другое важное свойство дизъюнкции «или …, или …» состоит в следующем. Рассмотрим высказывание «р или q» (так мы условимся для краткости записывать сложное высказывание «или р, или q»). Предположим, что оно истинно. Тогда если р ложно, то q должно быть истинно (так как по крайней мере одно из высказываний должно быть истинным, то если р ложно, то q должно быть истинным). Предположим, что высказывание «Либо дождик, либо снег» истинно, но неверно, что дождь идет. Тогда должно быть истинно, что идет снег.
Воспользуемся свойствами дизъюнкции и применим их к решению задачи. А высказывает сложное утверждение типа дизъюнкции: «Или я лжец, или В – рыцарь». Предположим, что А – лжец. Тогда высказанное им утверждение ложно. «Перевести» это можно так: неверно, что А – лжец и что В – рыцарь. Таким образом, если бы А был лжецом, то из этого следовало бы, что он не лжец, то есть мы пришли бы к противоречию. Отсюда мы заключаем, что А должен быть рыцарем.
Итак, мы установили, что А – рыцарь. Следовательно, его высказывание о том, что выполняется по крайней мере одна из двух альтернатив (1) А – лжец, 2) В – рыцарь), истинно. А поскольку первая альтернатива (А – лжец) ложна, то должна выполняться вторая альтернатива, то есть В – рыцарь. Таким образом, установлено, что А и В – оба рыцари.
30. Единственное здравое заключение, к которому можно прийти, состоит в том, что автор этой задачи не рыцарь. Действительно, ни рыцарь, ни лжец не могли бы высказать утверждения, приведенного в задаче. Действительно, предположим, что А – рыцарь. Тогда высказывание «А – лжец или два плюс два – пять» ложно, так как оба образующих его высказывания («А – лжец» и «два плюс два – пять») ложны. Но это означало бы, что рыцарь А высказал ложное утверждение, что невозможно. С другой стороны, если бы А был лжецом, то сложное высказывание «А – лжец или два плюс два – пять» было бы истинным, так как первое из входящих в него простых высказываний «А – лжец» истинно. Но тогда лжец А высказал бы истинное утверждение, что также невозможно.
Итак, условия задачи (так же как и условия задачи о всесокрушающем пушечном ядре и несокрушимом столбе) противоречивы. Следовательно, я, автор задачи, либо допустил ошибку, либо солгал. Смею уверить вас, что ошибки я не допускал. Отсюда вы с полным основанием приходите к выводу, что я не рыцарь.
31. Прежде всего заметим, что А должен быть лжецом. Действительно, если бы А был рыцарем, то из его высказывания следовало бы, что все трое лжецы. Но тогда А (по предположению, рыцарь) оказался бы лжецом, что невозможно. Следовательно, А – лжец. Но тогда его высказывание ложно и по крайней мере один из трех островитян А, В и С – рыцарь.
Предположим теперь, что В – лжец. Тогда А и В – оба лжецы, поэтому С должен быть рыцарем (так как по крайней мере один из трех островитян рыцарь). Это означает, что ровно один из трех островитян рыцарь, и, следовательно, высказывание В истинно, но это невозможно, так как любое высказывание лжеца не истинно. Отсюда мы заключаем, что В должен быть рыцарем.
Итак, мы установили, что А – лжец, а В – рыцарь. Так как В – рыцарь, то его высказывание истинно, поэтому ровно один из трех островитян – рыцарь. Им должен быть В, следовательно, С должен быть лжецом. Итак, А – лжец, В – рыцарь и С – лжец.
32. Определить, кто такой В, мы не в силах, но можно доказать, что С – рыцарь.
По тем же причинам, что и в предыдущей задаче, А должен быть лжецом. Следовательно, по крайней мере один из островитян В и С должен быть рыцарем. Выясним, кто такой В. Он может быть либо рыцарем, либо лжецом. Предположим, что он рыцарь. Тогда его высказывание о том, что только один из островитян А и В – лжец, истинно. Единственным лжецом должен быть А, поэтому С может быть только рыцарем. Таким образом, если В – рыцарь, то и С – рыцарь. С другой стороны, если В – лжец, то С должен быть рыцарем, так как все трое островитян, как мы уже знаем, не могут быть рыцарями. Следовательно, С должен быть рыцарем в любом случае.
33. Прежде всего заметим, что А не может быть рыцарем. Действительно, если бы А был рыцарем, то его высказывание было бы истинным, а в нем утверждается, что А – лжец. Следовательно, А – лжец, и его высказывание ложно. Если бы В был рыцарем, то высказывание А было бы истинным. Следовательно, В также лжец. Итак, А и В – лжецы.
34. Предположим, что А – рыцарь. Тогда его высказывание о том, что В – лжец, должно быть истинным, в силу чего В должен быть лжецом. Но тогда высказывание В о том, что А и С однотипны, ложно, поэтому А и С не однотипны. Следовательно, С – лжец (так как А – рыцарь). Таким образом, если А – рыцарь, то С – лжец.
С другой стороны, предположим, что А – лжец. Тогда его высказывание о том, что В – лжец, ложно, в силу чего В – рыцарь. Следовательно, высказывание В о том, что А и С однотипны, истинно. Отсюда мы заключаем, что С – лжец (так как А – рыцарь).
Итак, мы доказали, что независимо от того, кто такой А – рыцарь или лжец, С должен быть лжецом. Следовательно, С – лжец.
35. Для решения этой задачи необходимо рассмотреть отдельно два случая.
Первый случай: А – рыцарь. Тогда В и С однотипны. Если С – рыцарь, то и В – рыцарь и, следовательно, однотипен с А. Поэтому С, будучи человеком правдивым, должен был ответить «Да». Если С – лжец, то и В – лжец (поскольку В однотипен с С) и, следовательно, принадлежит к иному типу островитян, чем А. Поэтому С, будучи лжецом, должен солгать и ответить «да».
Второй случай: А – лжец. Тогда В и С не однотипны. Если С – рыцарь, то В – лжец и, следовательно, однотипен с А. Поэтому С, будучи рыцарем, должен ответить «да». Если С – лжец, то В, будучи человеком иного типа, чем С, – рыцарь и принадлежит к иному типу островитян, чем А. Но тогда С, будучи лжецом и утверждая, что А и С не однотипны, должен лгать, поэтому на заданный вопрос он ответит «да». Таким образом, в обоих случаях С ответит «да».
36. Решить эту задачу вам поможет информация, приведенная в условиях задачи после сообщения о том, что островитянин дал ответ на мой вопрос: мое замечание о том, что после его ответа я узнал истинный ответ на свой вопрос.
Предположим, что островитянин, с которым я разговаривал (обозначим его А), ответил на мой вопрос «да». Мог бы я после такого ответа знать, что по крайней мере один из встретившихся мне островитян рыцарь? Разумеется, нет. Действительно, А мог оказаться рыцарем и на мой вопрос правдиво ответить «да» (его ответ соответствовал бы истине, поскольку по крайней мере один островитянин, а именно А – рыцарь). Оба островитянина могли оказаться лжецами. В этом случае А, солгав, ответил бы на мой вопрос «да» (что было бы ложью, так как ни один из островитян не был рыцарем). Таким образом, получив от А ответ «да», я не смог бы узнать истинный ответ на свой вопрос. Но, как говорится в условиях задачи, после ответа А мне стал известен правильный ответ на заданный мною вопрос. Следовательно, А мог ответить только «нет».
Разберемся теперь, кто такие островитянин А и его приятель, которого мы обозначим В. Если бы А был рыцарем, то он не мог бы дать правдивый ответ «нет», поэтому А – лжец. Так как его отрицательный ответ ложен, то по крайней мере один из двух островитян должен быть рыцарем. Следовательно, А – лжец, а В – рыцарь.
37. Должны. Если оба встретившихся вам островитянина рыцари, то они оба ответят «да». Если они оба лжецы, то они также оба ответят «да». Если же один из них рыцарь, а другой лжец, то рыцарь ответит «нет» и лжец также ответит «нет».
38. Должен признаться, что в этой задаче я позволил себе подшутить над читателем. Ключом к решению служит та фраза, в которой говорится, что вам, сколько вы ни бились, так и не удалось «извлечь его из тины». Слова, заключенные в кавычки, представляют собой каламбур – «извлечь его истины». Из них следует, что встретившийся вам островитянин изрекал только ложь, то есть был лжецом. Отсюда мы заключаем, что его звали Эдвин.
39. Прежде всего заметим, что А не может быть рыцарем, потому что рыцарь не назвал бы себя обычным человеком. Следовательно, А – либо лжец, либо обычный человек. Тогда истинно высказывание островитянина В. Значит, В – либо рыцарь, либо обычный человек. Но В не может быть обычным человеком (так как А – обычный человек), поэтому В – рыцарь, а С – лжец. Но лжец не может сказать о себе, что он не обычный человек (так как любой лжец – не обычный человек), и мы приходим к противоречию. Итак, А не может быть обычным человеком. Следовательно, А – лжец. Это означает, что высказывание островитянина В ложно, в силу чего В должен быть обычным человеком (лжецом он быть не может, так как лжец – островитянин А). Итак, А – лжец, а В – обычный человек. Отсюда мы заключаем, что С – рыцарь.
40. Эта задача обладает интересной особенностью. Условия ее не позволяют установить, кто из двух островитян говорит правду, не будучи рыцарем: А или В. Мы можем доказать более слабое утверждение: по крайней мере один из двух островитян А и В говорит правду, не будучи рыцарем.
Островитянин А либо говорит правду, либо не говорит правду. Докажем два утверждения: 1) если А говорит правду, то он говорит правду, не будучи рыцарем; 2) если А лжет, то В говорит правду, не будучи рыцарем.
1) Предположим, что А говорит правду. Тогда В – рыцарь и, следовательно, говорит правду. Значит, А – не рыцарь. Таким образом, если А говорит правду, то А – лицо, говорящее правду, не будучи рыцарем.
2) Предположим, что А не говорит правду. Тогда В – не рыцарь. Но В должен говорить правду, так как А не может быть рыцарем (ведь А не говорит правду). Следовательно, в этом случае В говорит правду, не будучи рыцарем.
41. Докажем, что если В говорит правду, не будучи рыцарем, и если В не говорит правду, то А лжет, не будучи лжецом.
1) Предположим, что В говорит правду. Тогда А – лжец и, следовательно, заведомо не говорит правду. Отсюда мы заключаем, что В – не рыцарь. Таким образом, в этом случае В говорит правду, не будучи рыцарем.
2) Предположим, что В не говорит правду. Тогда А не лжет. Но А заведомо лжет, когда говорит о В, так как В не может быть рыцарем, если он не говорит правду. Таким образом, в этом случае А лжет, не будучи лжецом.
42. Прежде всего заметим, что А не может быть рыцарем, так как если бы А был рыцарем, то его высказывание было бы ложным (рыцарь как особа высшего ранга не может быть по рангу ниже В). Предположим, что А – лжец. Тогда его высказывание ложно. Следовательно, А по рангу не может быть ниже, чем В. Значит, В также должен быть лжецом (так как если бы В не был лжецом, то А был бы особой более высокого ранга, чем В). Но это невозможно, так как высказывание В противоположно высказыванию А, а два противоположных высказывания не могут быть истинными одновременно. Следовательно, предположение, что А – лжец, приводит к противоречию. Значит, А не лжец, но тогда А должен быть обычным человеком.
А что можно сказать о В? Если бы он был рыцарем, то А (будучи обычным человеком) был бы особой более низкого ранга, чем В. Тогда высказывание А было бы истинным, из чего следовало бы, что высказывание В ложно. Таким образом, рыцарь высказал бы ложное утверждение, что невозможно. Значит, В не рыцарь. Предположим, что В был бы лжецом. Тогда высказывание А было бы ложным, из чего следовало бы, что высказывание В истинно. Таким образом, лжец высказал бы истинное утверждение, что невозможно. Следовательно, В не может быть не только рыцарем, но и лжецом. Значит, В – обычный человек.
Итак, А и В – обычные люди. Высказывание А ложно, высказывание В истинно. Тем самым задача полностью решена.
43. Первый шаг. Прежде всего докажем, что в силу высказывания А островитянин С не может быть обычным человеком. Действительно, если А – рыцарь, то В – особа более высокого ранга, чем С. Следовательно, В должен быть обычным человеком, а С – лжецом. Таким образом, в этом случае С – не обычный человек. Предположим, что А – лжец. Тогда В по рангу не выше С. Следовательно, В – особа более низкого ранга, поэтому В должен быть обычным человеком, а С – рыцарем. Таким образом, и в этом случае С – не обычный человек. Предположим, наконец, что А – обычный человек. Тогда С – заведомо не обычный человек (так как из трех островитян А, В и С только один – обычный человек). Итак, С – не обычный человек.
Второй шаг. При аналогичных рассуждениях из высказывания В можно вывести, что А – не обычный человек. Таким образом, ни А, ни С не обычны. Следовательно, В – обычный человек.