Стивен Строгац
Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной
Это подводит нас к другой области, где идея Архимеда о приближении прямолинейными формами оказалась полезной, – пластической хирургии лица[86] для пациентов с неправильным прикусом, смещением челюстей и другими врожденными пороками. В 2006 году немецкие математики Петер Дойфлхард, Мартин Вайзер и Стефан Захов сообщили о результатах своей работы по применению анализа и компьютерного моделирования для прогнозирования результатов сложных операций на лице.
Первым шагом было построение точной карты структуры лицевых костей пациента. Для этого использовалась компьютерная (КТ) или магнитно-резонансная (МРТ) томография. Результаты давали информацию о трехмерной конфигурации лицевых костей черепа, с помощью которой исследователи строили компьютерную модель лица пациента. Эта модель была не просто геометрически точной; она была биомеханически точной. Она включала реалистичные оценки свойств кожи и мягких тканей – жиров, мышц, сухожилий, связок и кровеносных сосудов. С помощью компьютерной модели хирурги могли проводить операции на виртуальных пациентах, подобно тому как пилоты оттачивают мастерство на летных тренажерах. Виртуальные кости лица, челюсти и черепа можно резать, перемещать, наращивать или полностью удалять. Компьютер рассчитывал, как в ответ на появление новой костной структуры будут перемещаться и перестраиваться виртуальные мягкие ткани.
Результаты такого моделирования полезны по нескольким причинам. Они предупреждают хирургов о возможных неблагоприятных воздействиях процедуры на такие уязвимые структуры, как нервы, кровеносные сосуды и корни зубов. Они также показывают, как будет выглядеть лицо пациента после операции, поскольку модель предсказывает, как переместятся мягкие ткани после выздоровления пациента. Еще одно преимущество – это позволяло хирургам лучше подготовиться к реальной операции в свете смоделированных результатов. А пациенты могли более взвешенно принимать решение о необходимости операции.
Идеи Архимеда проявились, когда исследователи смоделировали гладкую двумерную поверхность черепа с помощью огромного количества треугольников. Мягкие ткани создавали собственные геометрические проблемы. В отличие от черепа, мягкие ткани полностью заполняют трехмерный объем. Они наполняют сложное пространство между кожей лица и черепом. Ученые представили эту ткань сотнями тысяч тетраэдров – трехмерных аналогов треугольников. На изображении внизу поверхность черепа аппроксимируют примерно 250 000 треугольников (они слишком малы, чтобы их разглядеть), а объем мягких тканей включает 650 000 тетраэдров.
Стефан Захов, институт Цузе в Берлине (ZIB)
Массив тетраэдров позволил исследователям предсказать, как поведут себя после операции мягкие ткани пациента. Грубо говоря, мягкие ткани – это упругий материал, немного похожий на резину или эластан. Если вы ущипнете себя за щеку, она изменит форму, а когда отпустите, вернется к естественному состоянию. Еще с 1800-х годов математики и инженеры использовали анализ, чтобы смоделировать, как различные материалы будут растягиваться, изгибаться или скручиваться, если их сжимать, растягивать или резать различными способами. Эта теория лучше всего развита в традиционных областях техники, где она используется для изучения напряжений и деформаций в мостах, зданиях, крыльях самолетов и многих других конструкциях из стали, бетона, алюминия и прочих жестких материалов. Немецкие исследователи адаптировали традиционный подход к мягким тканям и обнаружили, что он работает достаточно хорошо для того, чтобы быть полезным хирургам и пациентам.
Их основная идея заключалась в следующем. Представим мягкие ткани в виде сети тетраэдров, связанных между собой подобно бусинкам, соединенным эластичными нитями. Эти бусинки изображают небольшие кусочки ткани. Они соединены эластично, потому что в реальности атомы и молекулы в тканях соединены химическими связями. Эти связи сопротивляются растяжению и сжатию, что и обеспечивает упругость. Во время виртуальной операции хирург разрезает кости на виртуальном лице и передвигает некоторые их фрагменты. Когда кусок кости перемещается на новое место, он тянет за собой присоединенные ткани, а те, в свою очередь, тянут соседние ткани. В результате из-за этих сил сеть меняет конфигурацию. По мере движения участков ткани они меняют силы, оказываемые на соседей, поскольку связи между участками растягиваются или сжимаются. Затронутые соседи перенастраиваются сами и так далее. Отслеживание всех возникающих сил и смещений требует колоссальных вычислений, которые может выполнить только компьютер. Шаг за шагом алгоритм корректирует мириады сил и перемещений в крошечных тетраэдрах. В конечном счете все силы уравновешиваются и ткани приходят в новое состояние равновесия. Это и будет новой формой лица пациента, предсказанной моделью.
В 2006 году Дойфлхард, Вайзер и Захов проверили прогнозы своей модели для примерно тридцати клинических случаев и пришли к выводу, что она работает замечательно. В качестве одной из мер ее успешности было правильно предсказанное – с точностью до миллиметра – положение 70 % поверхности кожи на лице пациента. Только для 5–10 % поверхности отклонение от прогноза составляло более трех миллиметров. Другими словами, модели можно было доверять. И это, конечно, гораздо лучше, чем действовать наугад. Вот пример с одним пациентом до и после операции. На четырех иллюстрациях показан его профиль до операции (крайний рисунок слева), компьютерная модель лица в этот момент (второй рисунок слева), спрогнозированный результат операции (второй рисунок справа) и фактический результат (крайний рисунок справа).
Посмотрите на положение его челюсти до и после операции. Результаты говорят сами за себя.
Стефан Захов, институт Цузе в Берлине (ZIB)
К загадке движения
Я пишу эти строки на следующий день после метели. Вчера было 14 марта, День числа π[87], и у нас навалило тридцать сантиметров снега. Сегодня утром, четвертый раз расчищая подъездную дорожку, я с завистью наблюдал, как небольшой трактор с роторным снегометом легко прокладывал по улице путь. С помощью вращающегося винта он забирал снег, а потом выбрасывал его во двор моего соседа.
Подобное использование вращающегося винта для перемещения чего-либо также восходит к Архимеду, по крайней мере согласно традиции. В его честь мы называем такой механизм архимедов винт[88]. Говорят, что ученый придумал его во время поездки в Египет (хотя, возможно, ассирийцы использовали его намного раньше) для подъема воды в ирригационные каналы. Сегодня в механических устройствах для поддержания работы сердца применяют насосы, использующие архимедов винт: они поддерживают циркуляцию крови при повреждениях левого желудочка.
Однако очевидно, что Архимед не хотел, чтобы его помнили за винты, военные машины или любые другие практические изобретения: он не оставил нам о них никаких записей. Больше всего он гордился своими математическими открытиями, что также заставляет меня задуматься, о каком его наследии уместно поразмышлять в День числа π. За двадцать два столетия, прошедших с тех пор, как Архимед нашел границы числа π, новые приближения появлялись много раз, но при этом всегда использовались математические методы, введенные Архимедом: приближения многоугольниками или бесконечные ряды. В более широком смысле его наследие – первое принципиальное использование бесконечных процессов для определения количественных характеристик криволинейных форм. В этом ему не было равных ни тогда, ни сейчас.
Однако геометрия криволинейных форм имеет свои пределы. Нам нужно также знать, как в этом мире происходит движение – как смещаются ткани после операции, как кровь течет по артериям, как мяч летит по воздуху. Об этом Архимед промолчал[89]. Он дал нам знания по статике, о телах, уравновешенных на рычаге и устойчиво плавающих в воде. Он был мастером равновесия. Территория впереди таила в себе загадки движения.
Глава 3. Открытие законов движения
Когда Архимед умер, вместе с ним практически умерло и математическое изучение природы. Прошло полторы тысячи лет, прежде чем появился новый Архимед. В Италии эпохи Возрождения молодой ученый по имени Галилео Галилей начал с того места, на котором остановился великий грек. Он наблюдал, как двигаются предметы, когда летят по воздуху или падают на землю, и искал в их движении числовые закономерности. Он проводил тщательные эксперименты и анализировал их. Измерял время колебания маятников и спуска шариков по наклонным поверхностям и находил удивительные правила для обоих случаев. А тем временем молодой немецкий математик Иоганн Кеплер изучал движение планет. Оба ученых были очарованы обнаруженными в своих работах закономерностями и ощущали присутствие чего-то гораздо более глубокого. Они знали, что натолкнулись на нечто важное, но не могли понять его значения. Открытые ими законы движения были написаны на незнакомом языке, коим и было дифференциальное исчисление. Это были первые намеки на него, сделанные человечеству.
До работ Галилея и Кеплера природные явления редко воспринимались в математических терминах. Архимед открыл математические принципы равновесия и плавучести в своих законах рычага и гидростатического равновесия, однако их применение было ограничено статическими ситуациями, где не было движения. Галилей и Кеплер рискнули выйти за пределы статического мира Архимеда и исследовать, как движутся объекты. Их попытки разобраться в увиденном стимулировали появление нового вида математики, которая могла бы обращаться с движением, происходящим с переменной скоростью. Такая математика должна была описывать, например, изменение скорости шарика, катящегося по наклонной плоскости, или скорости планет, ускоряющихся по мере приближения к Солнцу и замедляющихся по мере удаления от него. В 1623 году Галилей описывал Вселенную как «величественную книгу… которая всегда открыта нашему взору»[90], но предупреждал, что «читать ее может лишь тот, кто сначала освоит язык и научится понимать знаки, которыми она начертана. Написана же она на языке математики, и знаки ее – треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без которых нельзя понять ни единого из стоящих в ней слов и остается лишь блуждать в темном лабиринте»[91]. Кеплер выражал еще большее преклонение перед геометрией. Он полагал, что она так же вечна, как божественный разум[92], и предоставила Богу закономерности[93] для сотворения мира. Задача Галилея, Кеплера и других близких им по духу математиков начала XVII века состояла в том, чтобы взять их любимую геометрию, так хорошо приспособленную для описания мира покоящегося, и распространить ее на мир меняющийся. Проблемы, с которыми они столкнулись, были больше чем математическими; им пришлось преодолевать философское, научное и богословское сопротивление.
Мир по Аристотелю
До XVII века движение и изменение были мало понятны. И не только потому, что их трудно изучать; они просто считались отвратительными. Платон учил[94], что цель геометрии – приобрести знание о том, что существует вечно, а не возникает на мгновение, а затем исчезает. Его философское презрение к преходящим вещам перешло в более крупных масштабах в космологию его самого выдающегося ученика – Аристотеля.
Согласно учению Аристотеля[95], которое доминировало в западной мысли почти два тысячелетия (и было принято католицизмом после того, как Фома Аквинский убрал из него языческие элементы), небеса вечны, неизменны и совершенны. Неподвижная Земля находится в центре божьего творения, а Солнце, Луна и планеты вращаются вокруг нее по идеальным окружностям, увлекаемые движением небесных сфер. В соответствии с такой космологией все в земном царстве ниже сферы Луны испорчено и поражено гниением, разложением и смертью. Превратности жизни, подобно опаданию листьев, по самой своей природе преходящи, мимолетны и беспорядочны.
Хотя космология с Землей в центре выглядела обнадеживающей и здравой, неудобной проблемой представлялось движение планет. Слово «планета» означает «блуждающая»[96]. В древности планеты считались блуждающими звездами; вместо того чтобы находиться в одной точке неба подобно звездам Пояса Ориона и Ковша Большой Медведицы, которые никогда не двигаются относительно друг друга[97], планеты, казалось, перемещались по небу. За несколько недель и месяцев они переходили из одного созвездия в другое. Большую часть времени они двигались на восток относительно звезд, но иногда казалось, что они замедляются, останавливаются и пятятся назад, на запад (астрономы называют такое движение ретроградным[98]).
Например, было замечено, что Марс за время своего почти двухлетнего оборота по небу в течение примерно 11 недель двигается в обратном направлении. Сегодня мы можем запечатлеть это попятное движение с помощью фотографии. В 2005 году фотограф Тунч Тезел сделал серию из 35 снимков Марса с интервалом примерно в неделю и объединил изображения, скоординировав их по звездам на заднем плане. На итоговом комбинированном снимке 11 точек в середине показывают ретроградное перемещение Марса.
Тунч Тезел
Сегодня мы понимаем, что такое попятное движение – всего лишь иллюзия. Оно вызвано перемещением Земли, проходящей мимо более медленно движущегося Марса.
Это же происходит, когда вы идете на обгон автомобиля. Представьте, что вы мчитесь по автостраде в пустыне, а вдалеке виднеются горы. Пока вы догоняете более медленную машину, вам кажется, что она движется вперед относительно гор. Но когда вы ее догнали и проезжаете мимо, на мгновение кажется, что она двигается назад на их фоне. Затем, как только вы отъедете достаточно далеко, снова будет казаться, что она двигается вперед.
Такое наблюдение привело греческого астронома Аристарха[99] к идее гелиоцентрической системы мира почти за два тысячелетия до Коперника. Он справился с загадкой ретроградного движения. Однако Вселенная с Солнцем в центре сама по себе вызывала вопросы. Если Земля движется, почему мы с нее не падаем? И почему звезды кажутся неподвижными? Они же должны двигаться: по мере того как Земля вращается вокруг Солнца, их положение должно слегка меняться. Опыт подсказывает, что когда вы посмотрите на какой-то предмет, потом сдвинетесь и посмотрите еще раз, то предмет переместится на фоне более далеких объектов. Этот эффект называется параллаксом. Чтобы проверить, поставьте палец вертикально перед лицом. Закройте один глаз, затем второй. Кажется, что палец сдвигается на фоне более дальних предметов. Точно так же, когда Земля двигается по орбите вокруг Солнца, звезды должны смещаться на фоне более далеких звезд. Единственный способ разобраться с этим парадоксом (как понял сам Архимед[100], изучая космологию Аристарха) – принять, что все звезды чрезвычайно далеки, по сути, бесконечно далеки от Земли. Тогда движение нашей планеты не даст обнаружить сдвиг, потому что параллакс будет слишком мал, чтобы его можно было зметить. В то время такое рассуждение было трудно принять: никто не мог вообразить, что Вселенная настолько необъятна, а звезды настолько дальше планет. Сегодня мы знаем, что все именно так, но тогда это казалось немыслимым.
Поэтому картина мира с Землей в центре при всех ее недостатках выглядела более правдоподобно. Греческий астроном Птолемей скорректировал ее, введя эпициклы, экванты и прочие дополнительные факторы[101], чтобы теория могла разумно описывать движение планет и обеспечивала соответствие календаря и сезонных изменений. Система Птолемея[102] была неуклюжей и сложной, но работала достаточно хорошо, чтобы дожить до позднего Средневековья.
В 1543 году вышли две книги, которые ознаменовали начало научной революции. В том же году фламандский доктор Андреас Везалий сообщил о результатах вскрытия человеческих трупов – практике, запрещенной в предыдущие столетия. Его данные противоречили многовековым представлениям об анатомии человека. В тот же год Николай Коперник наконец разрешил опубликовать свою радикальную теорию о том, что Земля вращается вокруг Солнца. Он затягивал этот момент практически до своей смерти (и умер, когда книга увидела свет), поскольку боялся, что католическая церковь придет в ярость от подобного утверждения. И он оказался прав в своих опасениях. Когда Джордано Бруно[103] предположил среди прочих ересей, что Вселенная бесконечно велика и в ней бесконечно много миров, инквизиция осудила его и сожгла на костре в Риме в 1600 году.
На сцену выходит Галилео
В это смутное время, когда опасные идеи бросали вызов авторитетам и догмам, в Пизе, в родовитой, но обедневшей семье 15 февраля 1564 года родился мальчик, Галилео Галилей[104]. Его отец, теоретик музыки и лютнист, заставил сына учиться медицине, поскольку эта профессия была гораздо прибыльнее, чем его собственная. Но в университете Галилео обнаружил, что его страсть – математика. Он основательно увлекся трудами Архимеда и Евклида и досконально их изучил. Однако окончить университет ему не удалось (у отца больше не было возможности платить за обучение), он занялся самообразованием и через четыре года стал профессором математики в Пизанском университете, а еще через три года получил место профессора математики в Падуанском университете. Он был блестящим преподавателем, его выступления были ясны, задиристы и остроумны. Студенты стекались толпами на его лекции.
Галилео встретил жизнерадостную женщину по имени Марина Гамба[105], с которой многие годы прожил в гражданском браке. У них были две дочери и сын, однако в брак они не вступили; для него это считалось бы бесчестьем – из-за молодости Марины и ее низкого социального статуса[106]. Скудная зарплата преподавателя математики, затраты на воспитание троих детей и дополнительная ответственность за судьбу незамужней сестры вынудили Галиля отдать дочерей в монастырь, и это разбило его сердце[107]. Его любимицей[108], радостью в жизни была старшая дочь Вирджиния. Позже он описывал ее как «женщину с утонченным умом, исключительной доброты, нежнее всего привязанную ко мне». Став монахиней, она приняла имя Мария Челесте – в честь Девы Марии и увлечения отца астрономией[109].
Сегодня Галилея, пожалуй, чаще всего вспоминают в связи с его работой с телескопом и как сторонника теории Коперника о движении Земли вокруг Солнца, что противоречило взглядам Аристотеля и католической церкви. Хотя Галилей не изобретал телескоп, он усовершенствовал его и стал первым, кто сделал с его помощью выдающиеся научные открытия. В 1610-м и 1611 годах он наблюдал лунные горы, пятна на Солнце и четыре спутника Юпитера (с тех пор были открыты и другие).
Все эти наблюдения противоречили господствующим догмам. Горы на Луне означали, что вопреки учению Аристотеля она не была сияющей совершенной сферой. Аналогично пятна на Солнце означали, что оно не было совершенным небесным телом и имело дефекты. А поскольку Юпитер и его четыре спутника выглядели как собственная планетная система, где маленькие тела вращались вокруг более крупной центральной планеты, было очевидно, что не все небесные тела вращаются вокруг Земли.
Кроме того, эти спутники как-то умудрялись оставаться у Юпитера во время движения по небу. А ведь одним из стандартных аргументов против гелиоцентризма было то, что если Земля вращается бы вокруг Солнца, то Луна должна от нее отстать. Однако Юпитер с его спутниками показал, что это рассуждение ложно.
Это не означает, что Галилей был атеистом или нерелигиозным человеком. Он был добрым католиком и полагал, что открывает великолепие божьего труда, документируя его в соответствии с истиной, а не с традиционными представлениями Аристотеля и его более поздних схоластических толкователей. Однако католическая церковь так не считала. Труды Галилея были сочтены ересью. В 1633 году он предстал перед инквизицией, где его заставили отречься от своих взглядов. Его приговорили к пожизненному заключению, которое затем заменили домашним арестом, и остаток жизни Галилей прожил в своем доме в Арчетри около Флоренции. Он с нетерпением ждал встречи с любимой дочерью Марией Челесте, однако вскоре после его возвращения она заболела и умерла – в возрасте тридцати трех лет. Галилей был опустошен и на какое-то время утратил интерес к работе и жизни.
Оставшиеся годы он провел под домашним арестом – старик, теряющий зрение и пытающийся спорить со временем. Каким-то образом через два года после смерти дочери он нашел в себе силы обобщить свои неопубликованные исследования движения. Получившаяся книга, «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки»[110], стала кульминацией его трудов и первым великим шедевром современной физики. Он написал ее на итальянском, а не на латыни, чтобы ее мог понять кто угодно, и тайно переправил в Голландию, где она была опубликована в 1638 году. Радикальные идеи этой работы дали старт научной революции и привели человечество к разгадке тайны Вселенной: что великая книга природы написана на языке анализа.
Падение, качение и закон нечетных чисел
Галилей первым стал практиковать научный метод. Вместо того чтобы цитировать авторитетов или философствовать, сидя в кресле, он изучал природу посредством тщательных наблюдений, остроумных экспериментов и изящных математических моделей. Такой подход позволил ему сделать многие замечательные открытия, среди которых было и такое: за тем, как падают предметы, скрываются нечетные числа 1, 3, 5, 7 и так далее.
До Галилея Аристотель предполагал, что тяжелые тела падают[111], потому что стремятся к своему естественному месту в центре космоса. Галилей считал, что это пустые слова. Вместо того чтобы размышлять, почему вещи упали, он хотел количественно определить характеристики того, как они падают. Для этого ему требовался способ измерять движение падающих тел и отслеживать, где они находятся, момент за моментом.
Это было непросто. Любой, кто сбрасывал камень с моста, знает, что камни падают быстро. Чтобы следить за камнем в каждый момент его падения, нужны очень точные часы, а таких во времена Галилея не было, да и несколько хороших видеокамер не помешали бы, но и они отсутствовали в начале 1600-х годов.
Галилей придумал блестящее решение: он замедлил движение. Вместо бросания камня с моста он пускал шар по наклонному скату. На языке физики он известен как наклонная плоскость, хотя во время первоначальных экспериментов Галилея это был длинный тонкий кусок дерева с прорезанным желобком для шара. Когда ученый уменьшал наклон почти до горизонтального, он мог замедлить движение шара до желаемой скорости, что позволяло ему измерять, где находится шар в каждый момент времени, обходясь инструментами, доступными в то время.
Чтобы определить время спуска шара, он использовал водяные часы. Они работали как секундомер: в начальный момент физик открывал вентиль и вода начинала с постоянной скоростью поступать по тонкой трубе в резервуар. В нужный момент он закрывал вентиль. Взвесив воду, накопившуюся в резервуаре за время спуска шара, Галилей мог количественно определить, сколько времени прошло, с точностью до «одной десятой удара пульса»[112],[113].
Он повторял эксперимент много раз, иногда меняя наклон ската, а иногда – расстояние, проходимое шаром. По его словам, он установил следующее: «Расстояния, пройденные за равные промежутки времени телом, падающим из состояния покоя, находятся между собой в таком же соотношении, как и нечетные числа, начинающиеся с единицы»[114].
Чтобы понятнее изложить этот закон больших чисел, предположим, что шар прокатится некоторое расстояние за первую единицу времени. Тогда за вторую единицу времени он прокатится втрое дальше, за третью – впятеро.. Это потрясающе! Нечетные числа 1, 3, 5 и так далее как-то связаны с тем, как предметы катятся вниз. И если падение – это предельный случай качения, когда наклон приближается к вертикали, то и для падения должно быть справедливо то же самое.
Мы можем только представить, как должен был обрадоваться Галилей, когда открыл это правило. Но обратите внимание, как он его сформулировал: словами, числами и соотношениями, а не буквами, формулами и уравнениями. Наша нынешняя манера использовать алгебру, а не разговорный язык, по тем временам казалась бы авангардным, новейшим, новомодным способом думать и говорить. Галилей так не думал и не выражался, да и читатели его бы не поняли.
Чтобы увидеть самые важные следствия из правила Галилея, давайте посмотрим, что произойдет при сложении последовательных нечетных чисел. За одну единицу времени шар прошел одну единицу расстояния. За следующую – еще три единицы расстояния, то есть в общей сложности 1 + 3 = 4 единицы с момента начала движения. После третьей единицы времени получаем 1 + 3 + 5 = 9 единиц расстояния. Обратите внимание на закономерность: числа 1, 4 и 9 – это квадраты последовательных целых чисел: 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9. Таким образом, правило нечетных чисел Галилея, похоже, означает, что общее расстояние, пройденное падающим телом, пропорционально квадрату прошедшего времени.
Эту изящную связь между нечетными числами и квадратами можно доказать наглядно. Представьте нечетные числа как «уголки» из точек:
Теперь соедините их так, чтобы получился квадрат. Например, 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 × 4, поскольку мы можем сложить первые четыре уголка так, чтобы они образовали квадрат со стороной 4.
Наряду с законом о расстоянии, пройденном падающим телом, Галилей также открыл закон скорости. По его словам, скорость увеличивается пропорционально времени падения. Интересно здесь то, что ученый имел в виду мгновенную скорость, что кажется парадоксальным понятием. В книге «Две новые науки» он приложил немало усилий, чтобы объяснить, что при падении из состояния покоя тело не прыгает внезапно с нулевой скорости до какой-то более высокой, как полагали его современники. Наоборот, оно плавно проходит через все промежуточные скорости – бесконечное количество скоростей – за конечное время, начиная с нулевой и непрерывно увеличивая скорость при падении.
Итак, в этом законе падающих тел Галилей инстинктивно размышлял о мгновенной скорости – понятии дифференциального исчисления, с которым мы познакомимся в главе 6. В то время он не мог определить ее точно, но интуитивно понимал.
Искусство научного минимализма
Прежде чем мы оставим эксперимент Галилея с наклонной плоскостью, давайте обратим внимание на стоящее за ним мастерство. Ученый уговорил природу дать красивый ответ, задав красивый вопрос. Словно художник-экспрессионист, он выделял то, что его интересовало, отбрасывая остальное.
Например, описывая свой прибор, он говорит, что сделал желоб очень прямым, гладким и отполированным[115] и катил по нему твердый, гладкий и круглый бронзовый шар. Почему его так беспокоили гладкость, прямолинейность, твердость и округлость? Потому что ученый хотел, чтобы шар катился вниз в самых простых и идеальных условиях, какие он только мог представить. Он сделал все возможное, чтобы уменьшить потенциальные осложнения, возникающие из-за трения или столкновений шара с боковыми стенками желоба (что могло происходить, если канал не был прямым), из-за мягкости шара (что могло привести к потере энергии шаром из-за его деформации) и всего остального, что могло вызвать отклонения от идеального случая. Это был правильный эстетический выбор. Просто. Элегантно. И минимально.
Сравните это с Аристотелем, который ошибался с законами падения, потому что его сбивали с толку осложнения. Ученый считал, что тяжелые тела падают быстрее легких – со скоростью, пропорциональной их массе. Это верно для крошечных частиц, плавающих в очень густой вязкой среде, например патоке или меде, но неверно для пушечных ядер или мушкетных пуль, падающих сквозь воздух. Похоже, Аристотель был так озабочен силами сопротивления, создаваемыми воздухом (следует признать, что это важный эффект при падении перьев, листьев, снежинок и прочих легких предметов, у которых большая площадь поверхности, на которую воздействует воздух), что забыл проверить свою теорию на более типичных предметах вроде камней, кирпичей или обуви, то есть на компактных и тяжелых вещах. Другими словами, он слишком сильно сосредоточился на шуме (сопротивлении воздуха) и недостаточно на сигнале (инерция и сила тяжести)[116].
Галилей не позволил себе отвлекаться. Он знал, что сопротивление воздуха и трение в реальном мире неизбежны, а значит, и в его эксперименте тоже, но они несущественны. Предвидя критику, он признал, что дробинка падает не так быстро, как пушечное ядро, но отметил, что допущенная ошибка гораздо меньше, чем в теории Аристотеля. В книге «Две новые науки» персонаж, прототипом которого был Галилей, говорит простоватому собеседнику, стоящему на аристотелевских позициях[117]: «Я не хотел бы… чтобы вы поступали как многие другие, отклоняя беседу от главного вопроса, и придирались к выражению, в котором я допустил отклонение от действительности на один волосок, желая скрыть за этой небольшой погрешностью ошибку другого, грубую, как якорный канат»[118],[119].
В том-то и дело. В науке допустима погрешность в один волосок. А грубая, как якорный канат, – нет.
Галилей продолжил изучать движение брошенных тел, например полет мушкетной пули или пушечного ядра. По какой траектории они летят? Ученый полагал, что движение такого тела складывается из двух разных эффектов, которые следует рассматривать по отдельности: боковое движение, параллельное поверхности земли, в котором сила тяжести не играет роли, и вертикальное движение вверх или вниз, где действует сила тяжести и применим его закон падающих тел. Объединив оба вида движения, он обнаружил, что брошенные тела летят по параболическим траекториям. Вы наблюдаете их всякий раз, когда перебрасываетесь мячиком или пьете воду из питьевого фонтанчика.
Это была еще одна потрясающая связь между природой и математикой и еще одно свидетельство того, что книга природы написана на языке математики. Галилей был в восторге, обнаружив, что парабола, абстрактная кривая, которую изучал его кумир Архимед, существует в реальном мире. Природа использовала геометрию.
Но чтобы прийти к такому пониманию, Галилею нужно было знать, чем можно пренебречь. Как и прежде, приходилось игнорировать сопротивление воздуха – силу, замедлявшую движение летящего тела из-за трения. Для одних видов брошенных тел (камень) такое трение пренебрежимо мало по сравнению с гравитацией, тогда как для других (надувной мяч для пляжа или мяч для настольного тенниса) это не так. Все виды трения, включая сопротивление воздуха, трудны для изучения. По сей день оно остается загадкой и темой активных исследований.