Кристиан Гессе
√Жизнь. Математика как способ стать счастливее и жить дольше
Такая невозможность вместе с тем стала и слабой стороной машины: по этой причине доля кодов, равная 1/e, то есть 37 % от всех вариантов шифрования, оказалась непригодной к применению. Это огромное ограничение помогло британскому математику Алану Тьюрингу взломать «Энигму». Поэтому союзные войска с определенного момента стали получать информацию обо всех военных планах нацистской Германии. По мнению главнокомандующего, американского генерала и будущего президента США Дуайта Эйзенхауэра, исход Второй мировой войны благодаря одному математику с этого момента был предрешен.
3
Стремление к лучшей войне
В этой главе автор знакомит с формулой поиска справедливости и показывает, как эта формула позволяет избежать столкновений в ходе развода.
В западном мире каждый второй брак приводит к разводу. В Германии число разводов достигает более четверти миллиона ежегодно. Любой развод предполагает раздел имущества. Не всегда это происходит мирно. Наоборот. Иногда бракоразводные конфликты перерастают в фазу войны. Эмоциональный накал усиливается.
Заметка о профилактике разводов
Подтверждено статистикой: если имена супругов начинаются с одной буквы, брак будет более устойчивым.
Тяжба о разделе имущества… Еще в Библии приведен известный пример. Царь Соломон должен был примирить двух враждующих женщин. Обе утверждали, что они матери одного ребенка. Его решение было соломоновым. Он взял меч, чтобы рассечь ребенка пополам и передать каждой женщине по половине. Одна из них начала умолять его не делать этого. Этой женщине царь и отдал ребенка, так как стало очевидно, что она была матерью. Мудрое и правильное решение. Не всегда найдется такой мудрый судья.
Разделить ребенка между двумя женщинами было сравнительно легко. Но как при разводе разделить все имущество враждующей пары?
Возьмем Дональда Трампа. В 1991 году он был далеко не президентом США, а лишь одной из враждующих половин в бракоразводном процессе. Другой половиной была его прежняя жена Ивана. Предмет спора включал семейный особняк в Коннектикуте, курорт Мар-а-Лаго во Флориде, апартаменты в Нью-Йорке, комплекс в Трамп-тауэре плюс 60 миллионов долларов наличными.
Примерно здесь ничего не разделить. Процедура должна быть справедливой. Может быть, применить самую старую стратегию раздела имущества в мире? Она настолько проста, что вряд ли можно вести речь о стратегии «я делю, ты выбираешь».
Принцип «разделить и выбрать» – простой, но справедливый подход. Тем не менее тому, кто делит, легко манипулировать выбором. Тот, кто выбирает, вынужден смириться с тем, что имеет, если ему предстоит выбор из двух частей, каждая из которых ему не нравится.
Делению можно научиться
В одном эксперименте малышам было предложено разделить торт для себя и другого ребенка. Им было сказано: после того, как кусок торта будет разделен, они первыми смогут выбрать часть для себя. Кроме того, им было сказано, что выбранный для себя кусок торта будет возвращен обратно, если другой ребенок останется недоволен полученной частью торта. Только нескольким 5-летним детям удалось поделить кусок торта поровну. Большинство из них отрезали себе гораздо больший кусок.
Гораздо более успешным оказался принцип, придуманный 20 лет назад Стивеном Брэмсом и Аланом Тейлором. Политологом и математиком. Немного посчитаем в уме. Брэмс и Тейлор используют систему баллов. Участники составляют список, начисляют баллы, формируют две суммы, решают небольшое уравнение. Готово! Быстрее, чем готовят пятиминутный террин.
Конкретнее: оба визави располагают 100 баллами на одного. Они могут присваивать предметам, задействованным в споре, сколько угодно баллов в зависимости от собственных предпочтений. Если какой-либо предмет представляется вам более важным, ему присваивают больше баллов, что гарантированно позволит его получить. Менее важному предмету будет присвоено меньше баллов. Когда баллы присвоены, происходит первое распределение: каждая из сторон получает предметы, которым присвоены более высокие баллы, чем другим.
Каждый участник спора получает таким образом предметы на определенную сумму баллов. На следующем этапе тот, кто получил предметы на меньшую сумму, получает все объекты до достижения суммы баллов соперника. Если суммы баллов у обоих участников сравнялись, спор считается разрешенным. Если нет, то предпринимается еще один шаг.
На этом этапе участник, обладающий предметами на бо́льшую сумму баллов, должен уступить сопернику. Отдать какую-то долю наиболее сходного объекта или даже получившего равное количество баллов у обоих. То есть такого, которому оба участника выставили баллы, частное которых максимально приближено к 1. От этого объекта соперник передает ту долю, которая точно компенсирует недостающие баллы и уравновешивает суммы, полученные обеими сторонами.
В нашем примере с Дональдом и Иваной предположим, что Дональд присвоил пяти объектам – семейному особняку, отелю, квартире, этажу в башне Трамп-тауэр и денежной сумме – 10, 35, 20, 15 и 20 баллов соответственно. У Иваны порядок тот же, и объектам присвоено 35, 10, 25, 10 и 20 баллов соответственно.
Отель значит для Дональда больше. Для Иваны же важнее всего семейный особняк, который, наоборот, обладает для Дональда наименьшей ценностью. Денежную сумму оба оценили равнозначно, и ее «цена» находится примерно в центре шкалы.
Теперь выполним первое действие: Иване достанется семейный особняк и квартира, так как им она присвоила больше баллов, чем Дональд. Он же получит отель и комплекс в башне Трамп-тауэр. Ивана набрала 35 + 25 = 60 баллов. Выручка Дональда: 35 + 15 = 50 баллов.
Дональд отстает на 10 очков. Поэтому пока ему переходит последний предмет спора – все наличные. С дополнительными 20 баллами он поднялся до 70 баллов и опередил Ивану с ее 60 баллами. Сейчас предварительно все имущество распределено. Предварительно, так как количество баллов только примерно уравновешено.
Для достижения полного баланса необходимо предпринять еще несколько действий. Дональд наиболее близок к оценке Иваны и в то же количество баллов оценил наличные деньги. Если из всей наличности некоторая доля x перейдет Иване, то у Дональда останется сумма баллов, равная 70–20x. Ивана же приобретет уступленную долю и будет располагать суммой баллов, равной 60 + 20x. Сразу становится ясно, что x = 1/4 – такое соотношение было бы правильным для того, чтобы достичь равенства сумм, равных 65 баллам. Таким образом, Дональд должен уступить Иване четверть наличных денег от их общей суммы, равной 60 миллионам долларов. Дополнительно к семейному особняку и квартире ей перейдет 15 миллионов долларов. Остальное достанется Дональду.
Результат расчетов удивляет: практически полное совпадение с соглашением о разделе имущества при разводе. Кстати, вышеуказанный метод вряд ли использовали при разделе, так как в то время он еще не был сформулирован. Выполненное нами теоретическое, но правдоподобное распределение баллов привело к результату, который действительно получили Дональд и Ивана при разводе.
Метод обладает рядом положительных характеристик. Во-первых, он позволяет обеспечить соблюдение принципа справедливости: каждая из сторон получает более половины предметов имущества с максимальным баллом по личной шкале, а иногда даже более 65 %. Причем с обеих сторон! Кстати, как правило, каждой из сторон отходит около двух третей стоимости предметов спора по личной шкале оценки. То есть проигравший отсутствует: метод позволяет получить «двух победителей» при разделении предмета спора.
Во-вторых, в результате раздела не возникает чувства зависти: ни одна из сторон не завидует другой и полученным благам. Поскольку после раздела и обмена двумя пакетами имущества каждый из полученных пакетов обладает максимальной оценкой по собственной шкале.
В-третьих, процедура максимально справедлива: при разделе Дональд не может получить больше, а Ивана, соответственно, меньше. Обратный процесс тоже невозможен.
В-четвертых, метод является тем, что ученые называют минимально дробным делением: на доли может быть разделен только один объект.
Если последний объект оказывается неделимым, то участники спора в конечном счете обязаны его разделить. Например, путем предоставления его во временное пользование поочередно: один месяц – одному, остальные одиннадцать месяцев в году – другому. Или же объект будет продан, а выручка разделена в соответствии с расчетом.
Обладая такими характеристиками, метод «двух победителей» значительно опережает своих конкурентов. Он является единственным математически подтвержденным решением проблем раздела имущества, основанным на принципах справедливости, отсутствия зависти, упреков и с минимальным дроблением имущественных объектов. Снимаем шляпу! Кроме того, следует упомянуть, что в любом случае личная точка зрения отдельного человека всегда будет принята во внимание. Речь идет не об абсолютной, объективной справедливости, а о гораздо более ценной концепции обоюдной, субъективной справедливости. Метод «двух победителей» формирует беспроигрышную справедливую ситуацию для обеих сторон.
Одним словом, метод «двух победителей» – настоящий мастер на все руки. Ранее он использовался при проведении международных переговоров, при разделе территорий и определении формата дебатов. Он может быть применен для переговоров по вопросам оплаты труда между работодателем и работником. Сфер его применения великое множество. И везде его использование означает достижение приемлемого для обеих сторон решения. Метод даже запатентовали.
Если бы спросили меня, я бы порекомендовал израильтянам и палестинцам тоже воспользоваться методом «двух победителей» в целях установления долгосрочного перемирия в регионе.
В общем и целом метод предлагает математический ответ на любой спор, возникающий в мире. Математический вклад в мир во всем мире.
4
Распределяем обязанности без зависти
В этой главе автор демонстрирует, что справедливое решение не всегда гарантирует отсутствие зависти и предлагает принцип распределения обязанностей, позволяющий избежать возникновения чувства зависти.
Каро созвала семейный совет. Она решила прекратить практику того, что на ее плечи ложится большая часть всей работы по дому. Работы меж тем много: купить хлеб, накрыть на стол, убрать со стола, вымыть посуду и т. д. Ее муж Арне и сын Берт слишком мало задействованы в домашних хлопотах. Так, во всяком случае, считает Каро. Теперь все должно пойти по-другому. Для этого сегодня созван семейный совет.
Когда их было двое, Каро и Арне легко могли разделить обязанности. Они составляли список. Один разделял список на две части, а другой выбирал первым. Принцип «дели и выбирай» помогал им сотрудничать честно. По данным исследования, равноправное сотрудничество в семье является одним из трех факторов, влияющих на функциональность брака. Сразу после верности и хорошего секса.
Пример сотрудничества
«Я запланировала помыть окна. Чтобы помыть окна снаружи, положила на подоконник гладильную доску. Мой муж, который весит больше меня, сел на гладильную доску с одной стороны, а я, стоя с другой стороны, мыла окно снаружи. Неожиданно раздался звонок во входную дверь. Когда мой муж открыл дверь, он увидел меня лежащей у входа. Мы до сих пор не знаем, кто звонил в дверь».
Из журнала Der Spiegel
Когда участников двое, принцип «дели и выбирай» работает довольно неплохо. Но как быть, если в семейную систему должен быть включен сын? Один из членов семьи разделяет запланированные дела на три равнозатратные части, двое других делают выбор. Как поступить, если оба выбирают одну и ту же часть? Если тянуть жребий, то счастливчику будет завидовать неудачник.
Установить справедливость легче, чем избавиться от зависти. Справедливость достигнута тогда, когда каждая из сторон считает, что части, доставшиеся другим участникам, как минимум в той же мере неприятны, как неприятна собственная часть. Отсутствие зависти означает, что никто не завидует пакету, полученному другим участником. И никто не станет меняться с ним своим пакетом.
Математическая теория деления ведет свое начало от Гуго Штейнгауза, который в ходе Второй мировой войны задумался о справедливости. В 1943 году он опубликовал протокол Штейнгауза и расширил принцип «разделить и выбрать» до трех человек.
Предлагаю поделить торт с помощью этого принципа. Кому-то нравится начинка, кому-то – корочка, а кому-то – сливки. Поэтому два одинаковых куска торта могут быть оценены по-разному в зависимости от того, сколько баллов получат края, корочка, начинка, украшения и сливки.
Протокол Штейнгауза для трех участников состоит из пяти ходов.
Арне разрезает торт на три части, которые для него субъективно равнозначны.
Берт ничего не предпринимает, если ему подходят не менее двух кусков. В противном случае для него два куска становятся неприемлемы.
Если Берт ничего не предпринимает, Каро, Берт, Арне в указанном порядке выбирают себе по кусочку. Каро выбирает первой, поэтому ее все устраивает. Берт тоже не обижен, так как ему нравятся минимум два куска, а после выбора Каро останется хотя бы один из них, который он и сможет взять. Арне тоже доволен, потому что субъективно он разрезал торт на одинаковые части.
Если бы Берт счел два кусочка неподходящими, у Каро появилась бы такая же возможность: ничего не предпринимать или объявить два куска неподходящими. Если бы она ничего не предприняла, Берт, Каро, Арне теперь делали бы свой выбор в новом указанном порядке.
И снова все остались бы довольны.
Если Берт и Каро сочтут куски торта неподходящими, Арне придется взять один, который они оба сочтут неподходящим. Он сойдет с дистанции, но будет счастлив. А для Берта и Каро ценность торта, доставшегося Арно, слишком невысока. Таким образом, для них оставшаяся часть приобретет ценность более двух третей.
После ухода Арне, Берт и Каро продолжат игру с двумя оставшимися кусками, объединенным в маленький торт. Игра будет проходить по принципу «дели и выбирай». То есть они тоже не будут обижены.
Поражение математики
Разделите на 6, я не могу съесть 8.
Бейсболист Дэн Осинский так ответил на вопрос, на 6 или на 8 частей разделить для него пиццу.
Каро, Арне и Берт продемонстрируют, как протокол Штейнгауза можно применить к разделению домашних обязанностей: приготовлению пищи, выносу мусора, покупкам, уборке на кухне, стирке, уборке квартиры. Предположим, что у наших главных героев есть своя личная оценка этих задач, и чем выше балл, тем работа по дому сложнее. Каро присвоил работе в указанной последовательности следующие баллы: 25, 5, 20, 10, 15, 15.
Берт: 30, 5, 30, 10, 10, 10. Арне: 25, 10, 15, 15, 15, 20. Чтобы понимать организацию процесса, следует упомянуть, что баллы раскрыты только вам и мне. Арне, Берт и Каро могут вести игру, не просматривая присвоенные другими игроками баллы.
Далее: Каро делит список на три равноценные для нее части: приготовление пищи, вынос мусора – первая часть. Покупки, уборка кухни – вторая часть. Стирка, уборка квартиры – третья.
Берт оценивает первую и вторую часть как неподходящие, Арне – первую и третью части. Итак, Каро должна выбрать первую часть, поскольку муж и сын считают ее неподходящей. Она соглашается с обязанностями по приготовлению пищи и выносу мусора.
Арне и Берт продолжают игру, выбирая из оставшихся обязанностей. Жребий выпадает Берту. Он переносит уборку кухни из части 2 в часть 3. Обе эти части для него теперь становятся равнозначными. Арне выбирает менее сложную для него часть 2, то есть покупки. Берту достается часть 3: уборка кухни, стирка, уборка квартиры. Такое распределение обязанностей справедливо, и в итоге никто никому не завидует. Однако Каро могла бы позавидовать мужу и предпочла бы обменяться с ним обязанностями. Об этом свидетельствуют баллы, выставленные частям.
Протокол Штейнгауза позволяет принять справедливое решение. Но он не гарантирует, что это решение не вызовет у кого-либо чувства зависти.
Схемы «без зависти» выглядят намного сложнее. Только в 2015 году Харис Азиз и Саймон Маккензи придумали такую схему, работающую с любым количеством участников. Мы продемонстрируем ее на примере трех человек и торта.
Арне разрежет его на три субъективно равнозначных куска. Берт и Каро определят для себе один из кусочков как «любимый». Если все они разные, каждый получит свой кусок торта. Оставшийся кусок достанется Арне. И все будут счастливы.
Сложность возникает тогда, когда Берт и Каро выбирают один и тот же кусок. Каро в этом случае отрежет от своего любимого куска ровно столько, чтобы его ценность стала равна ценности второго ее любимого куска. Маленький отрезанный кусочек откладывают в сторону, а Берта, Каро, Арна делают выбор по очереди.
Если Берт не возьмет обрезанный кусок, то его должна взять Каро. Такой подход не вызывает зависти у участников. Берт не завидует никому, потому что он выбирает первым. Каро не завидует никому, так как второй ее любимый кусок обладает для нее такой же ценностью, что и первый. Арне никому не завидует, так как он разрезал торт.
Во второй части протокола Каро и Арне меняются ролями. Чтобы разделить небольшой остаток, Каро разрезает его на три эквивалентные части. Теперь выбор делают Берт, Арне, Каро, выбирая по маленькому кусочку. Такое второе разделение тоже не вызывает зависти: Берт никому не завидует, потому что он делает выбор первым. Арне никому не завидует, потому что ему разрешено сделать выбор перед Каро. Каро никому не завидует, потому что она разрезает остаток. Чувство зависти отсутствует. Готово.
Если бы эта процедура была применена Азизом и Маккензи при разделении домашних обязанностей, Каро должна была бы готовить и выносить мусор, Арне делать покупки и наводить порядок на кухне. Берт убирал бы квартиру и стирал. Такое деление справедливо, так как каждый получает задания, оцененные не более чем в 30 баллов. Кроме того, деление проходит «без зависти». Никто не завидует другим участникам.
Но если в процессе деления участвуют более трех человек, процедура становится чрезвычайно сложной. Поэтому иногда приходится просто довольствоваться соблюдением справедливости. Справедливая процедура для четверых человек и большего количества выглядит следующим образом.
Возьмем торт прямоугольной формы: каждый участник из четверых отмечает кусок слева, субъективно воспринимаемый им как четверть. Это означает, что каждый кусок торта соответствует субъективной четверти для какого-либо из участников. Затем отрезают первый кусок торта, расположенный между крайним левым бортиком и следующей за ним меткой.
Этот кусок получает тот, кто сделал крайнюю левую отметку. То есть тот, кто считает несколько меньший крайний кусок (если учитывать трапециевидность формы для выпечки коржей) справедливым. Этого кого-то все устраивает, так как субъективно ему досталась четверть торта. Всех остальных тоже все устраивает, потому что человек, получивший первый кусок, по их мнению, получил меньше четверти. Затем процесс повторяется, с тремя участниками вместо четырех, затем с двумя вместо трех. Готово.