Жак Маттер
История Александрийской школы. Том 2. Медицина. Физика. Математика. Астрономия. Хронология. География. История
Глава VII
О ГЕОГРАФИИ
В некоторых своих разделах география является лишь приложением математики. В других она связана с физическими и историческими науками. Во всех своих аспектах её изучение настолько важно, что она по праву считается отдельной наукой.
Уже к моменту основания Музея в Александрии в этой науке были достигнуты значительные успехи. Хотя наследники не получили полностью разработанной системы, александрийцы унаследовали несколько хорошо проработанных теорий. Три основные ветви географии – математическая, физическая и политическая – развивались в Греции неравномерно, но все они существовали. Если греки и заимствовали некоторые идеи у народов, которые также поделились с ними астрономическими знаниями, то благодаря собственным трудам они создали географическую литературу, несомненно, более богатую, чем у Египта и Халдеи.
Математическая география у греков восходила не к поэту Гомеру, которого они, преувеличивая, называли отцом этой науки, хотя его представления о форме Земли были весьма элементарными, а к философу Фалесу, которого упоминали реже. От Фалеса до Дикеарха, ученика Аристотеля, многие выдающиеся философы – Анаксимандр, Анаксимен, Пифагор, Парменид, Гераклит Эфесский, Анаксагор, Архит и Платон – занимались математической географией. Их труды позволили определить окружность и сферичность Земли, выделить основные деления: экватор, тропики и климатические зоны. Были созданы карты, которые хранились в портиках школ (1).
Традиция утверждает, что использование карт имеет более древние корни. Египтяне считали, что Сесострис приказал изобразить завоёванные им земли (3). Были ли подобные карты у вавилонян? Это неизвестно, но трудно представить, чтобы длительные экспедиции Ксеркса и Дария обходились без таких средств. В Индии использование карт, по-видимому, восходит к началу христианской эры (4).
В Ионии Анаксимандр оставил карту Греции, включавшую даже те земли и моря, которые часто посещали греческие путешественники (1).
Физическая география также начала развиваться. Множество полезных наблюдений содержалось в рассказах путешественников, посетивших не только Грецию, Малую Азию и Египет, но и северные регионы, Индию и другие восточные земли. Труды Гиппократа предлагали ценные сведения, особенно о народах Скифии, Понта Эвксинского и Пропонтиды (2).
Политическая география, будучи проще, была более развита. Греческие колонии в Италии, Сицилии, Галлии, Фракии, Азии и Африке, морские экспедиции, путешествия философов и историков, такие как Гекатей и Геродот, а также войны Кимонa, Никия, Ксенофонта, Агесилая, Ификрата, Филиппа и Александра – всё это способствовало накоплению обширных этнографических, хорографических и топографических знаний.
Греция изучала и более значительные труды. Гекатей Милетский предложил общее описание Земли (Γῆς περίοδος) и специализированные работы о Европе, Азии и Ливии. Он создал бронзовую карту, изображающую землю, моря и реки (3). Но главным авторитетом был Геродот, чьи путешествия и собранные сведения давали лучшие данные о всех известных грекам народах, включая физическую и математическую географию.
Были и более специализированные работы. Демокрит Абдерский, которого Страбон называл уважаемым и эрудированным географом, посетил больше стран, чем любой учёный его времени (4). Он оставил после себя «Великий диакосмос», космографию, периплы земли и моря (5).
Менее известные авторы также вносили вклад. Существовали периплы Гелланика (1), описания Италии и Сицилии Гипписа Регийского и Антиоха Сиракузского (2), труды Скилака о побережьях Средиземного и Чёрного морей (3), исследования Пифея и Евтимена Марсельского о западных и северных морях (4), работы Гекатея Абдерского о северных морях (5) и Геродора об иберах и народах Понта (6).
Астроном Евдокс написал восьмитомную географию, часто цитируемую Страбоном. Однако наибольший вклад в географию перед основанием Александрийской школы внесли учёные, мореплаватели и военачальники, участвовавшие в экспедициях Александра Македонского: Патрокл, Бетон, Диогнет (7), Неарх, Андростен (8) и другие.
Многие из этих исследователей уже опубликовали свои работы, но некоторые, вероятно, только готовили их к изданию, когда была основана Александрийская школа. Дионисий, например, опубликовал свои труды лишь при Птолемее II.
Настало время подвести итоги. От Истра до Индии Александр исследовал самые известные регионы мира, а Аристотель внёс значительный вклад в их изучение. Он преподавал математическую, физическую и политическую географию и разместил карты в Ликее, что позже повторили его последователи (1).
Ученик Аристотеля Дикеарх измерил высоты нескольких гор (2), создал изображение земного шара на основе экспедиций Александра (3) и составил специальные карты, которые вывешивались в портиках (4).
Хорография и статистика также начали развиваться. Александр приказал своим наместникам описать управляемые ими провинции, и на основе этих отчётов был составлен общий обзор его империи (6).
Таковы были достижения в математических науках к моменту основания Музея в Александрии. Далее мы увидим, как Александрийская школа продолжила эти исследования, начиная с Евклида, и в каком состоянии передала их арабам после девяти веков непрерывных изысканий.
ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
ИСТОРИЯ АРИФМЕТИКИ И ГЕОМЕТРИИ В АЛЕКСАНДРИЙСКОЙ ШКОЛЕ. – ПРИМЕНЕНИЕ ЭТИХ НАУК В МЕТРОЛОГИИ, МЕХАНИКЕ И МУЗЫКЕ.
Глава I
АРИФМЕТИКА. – ОТ ЕВКЛИДА ДО ДИОФАНТА.
Наследие, полученное Александрийской школой, было значительным в некоторых отношениях, но не во всех своих частях. Если в этом наследии и была наука, более neglected, чем другие, и более отсталая, то это была именно та, которая требовала наибольшего прогресса, поскольку она должна была служить отправной точкой для всех остальных; речь идёт об арифметике.
Первый математик новой школы, Евклид, занимался ею лишь во вторую очередь, и, по-видимому, вся его заслуга состоит в том, что он собрал и систематизировал то, чему учили в школах Греции.
Таково, по крайней мере, наиболее правдоподобное мнение, ибо так же трудно определить специальную точку зрения, под которой он составил свои «Начала», как и оценить сравнительную значимость теорий, изложенных в них. Поэтому приходится довольствоваться вероятным предположением, как и в случае с родиной и учителями этого учёного.
Действительно, мы не знаем, с какими предшествующими работами были связаны его собственные, и если у нас есть множество сведений о второстепенных персонажах Александрии, то над этим знаменитым человеком, основателем преподавания математики в Музее, висит густая тень неизвестности.
Всё, что можно утверждать с некоторой уверенностью, это то, что он происходил из школ Афин и обладал всей греческой наукой своего времени.
Приём, оказанный его главному труду, позволяет сделать ещё одно предположение: он излагал эту науку с большей полнотой и ясностью, чем любой из его современников. Поэтому три книги, посвящённые им арифметике в «Началах» (седьмая, восьмая и девятая), без сомнения, представляют в более методичном порядке всё, что было известно о вычислениях в ту эпоху.
Таким образом, в этом труде мы находим истинную отправную точку наших исследований. Какова же эта точка?
Не останавливаясь на правилах обычных вычислений, которые, несомненно, были известны тем, кто, например, посещал уроки Академии или Ликея в Афинах – прообразов Александрийского Музея, – и которые не входили в его задачу излагать, Евклид рассматривает свойства чисел, изучает пропорции, геометрические прогрессии, измерение чисел (простые и иррациональные числа) и, среди прочего, даёт решение задачи нахождения совершенного числа, то есть такого, сумма всех делителей которого равна самому числу.
Таково содержание этих трёх книг, теории которых, как видно, столь же далеки от элементарной арифметики, как и от арифметики, достаточной для серьёзных научных работ.
На практике эти теории были ещё и затруднены неудобной и несовершенной системой обозначений.
Тем не менее, этот свод Евклида, представлявший науку своей эпохи, а не отдельного автора, был встречен новой школой с заслуженным вниманием. Он действительно занимал важное место. Это был не только лучший отчёт о достижениях прошлого, но и руководство для будущих открытий; ведь все, кто хотел изучать арифметику, находили в этих книгах, в лучшем порядке и с лучшими решениями, чем где-либо ещё, все проблемы, которые предстояло исследовать теоретически или применять к изучению других наук, особенно геометрии, частью которой арифметика ещё оставалась в ту эпоху. И это были два значительных преимущества (1).
Кроме того, это руководство, более полное, чем любое другое, принадлежало школе математики, которая с самого начала стремилась к определённому превосходству и стала соперницей великих школ Афин. Действительно, Музей Лагидов с самого основания возглавил научное образование.
Евклидианцы – так называли учеников Евклида, следуя традиции именования последователей философов, – несомненно, продолжали учение своего учителя и поддерживали его превосходство. Однако не сохранилось ни одного текста, подтверждающего этот факт, и история даже не донесла имён этих учёных. Всё, что о них известно, это то, что один из них, Эратосфен, прославился изобретением «решета» – остроумного и простого метода нахождения простых чисел путём исключения, которые не имеют делителей, кроме себя и единицы, и представляли для античных арифметиков как богатый предмет для размышлений, так и полезный инструмент в вычислении дробей (1).
Правда, ни один текст не упоминает о связи между Эратосфеном и Евклидом, и её можно оспаривать. Однако эпоха, в которую жили оба этих учёных, и их преклонный возраст, факты настолько известные, что мы не будем на них останавливаться (2), склоняют к мысли, что один из них, по крайней мере, воспользовался последними уроками другого.
Вскоре современник Эратосфена, математик из Великой Греции, Архимед, родившийся в 287 году до н.э., то есть в то время, когда старость, если не смерть, уже отнимала скипетр науки у Евклида, чтобы передать его Эратосфену или Аполлонию Пергскому, прибыл в Египет, чтобы соперничать с ними обоими.
Это было тем легче, что правитель, покровительствовавший трудам Евклида, Птолемей I Сотер, был заменён Птолемеем II Филадельфом, который поощрял лишь ботанику, охоту, путешествия, поэзию и искусства.
Поэтому Архимед, ещё очень молодой, когда прибыл в Египет, и, вероятно, мало известный за пределами Сиракуз, своей родины, так хорошо воспользовался тем, что увидел в Музее, что вскоре поднялся на вершину точных наук. Правда, он преуспел больше в геометрии и механике, чем в арифметике; однако он сделал большой шаг в науке о числах, и хотя его связь с Александрийской школой косвенна, мы должны здесь упомянуть о его трудах, не только чтобы лучше осветить прогресс того времени, но и чтобы показать тесные отношения, которые он поддерживал с Кононом, чью смерть он так красноречиво оплакивал (1). Архимед также был другом Эратосфена, которому предлагал задачи (2). Даже после своего путешествия в Египет он продолжал поддерживать связь с Александрийской школой, которую посетил, так что его, строго говоря, можно считать александрийским писателем, подобно тому как история литературы относит к таковым его соотечественника Феокрита, посетившего Египет в ту же эпоху.
Как бы то ни было, Архимед опубликовал важный труд по арифметике, вызванный распространённым мнением, которое демонстрировало несовершенство вычислений того времени. Действительно, тогда считалось, что ни одно число не может выразить количество песчинок, рассыпанных по берегу моря. Чтобы опровергнуть это мнение, Архимед доказал, что даже если бы Вселенная была гораздо больше, чем предполагается, пятидесятый член возрастающей десятичной прогрессии был бы достаточен для выражения количества песчинок, которые она могла бы содержать. Этот результат имел мало значения; но гораздо важнее была система счисления, придуманная Архимедом для своих вычислений. Эта система, хотя и не приближалась к той, которой уже обладала Индия и которая позже была передана нам через арабов, внесла новые элементы в дискуссии математиков. Вот как это произошло.
Архимед использует две прогрессии: арифметическую и геометрическую. Первая имеет первый член 0 и разность 1, а вторая – первый член 1 и знаменатель 10. Хотя эта идея проста, возможно, именно соотношение этих двух прогрессий привело современных учёных к открытию логарифмов; в этом и заключается истинное значение труда Архимеда под названием «Псаммит» или «Исчисление песчинок».
Даже если этот труд и не дал грекам того, чего им больше всего не хватало в арифметике – хорошей системы счисления (1), – он всё равно оказал науке важные услуги. Вероятно, этот трактат стал известен в Александрии почти сразу после публикации, и сам Архимед, без сомнения, поделился им со своими друзьями из Музея. Затем копии были сделаны для библиотеки Лагидов и для евклидианцев. Трудно представить себе иначе, хотя до нас не дошло никаких свидетельств о том, какое впечатление произвёл «Псаммит» в Александрии или какое соперничество он вызвал среди учёных.
Современник Архимеда, Аполлоний Пергский, который в то время жил в Александрии (2) и, вероятно, встречался там со знаменитым сиракузянином, сумел стать его непосредственным преемником в области математических исследований. Аполлоний действительно занимался арифметикой так же, как и геометрией: он написал трактат об умножении больших чисел (3), и вторая книга собрания, составленного Паппом в V веке нашей эры, вероятно, была посвящена объяснению его нововведений в науке вычислений. К сожалению, не сохранилось текстов, которые позволили бы оценить его реальные заслуги в этой области (1).
После Аполлония история арифметики в Александрийской школе прерывается на несколько веков, ибо не упоминается ни один выдающийся учёный или значительный труд вплоть до Диофанта, который возродил науку с блеском во II или, по другим данным, даже в IV веке нашей эры. Можно предположить, что математики, жившие в этот промежуток, не ограничивались слепым следованием Евклиду, Архимеду и Аполлонию, но мы ничего не знаем о прогрессе, которого они могли достичь за это долгое время.
Если судить по трудам пифагорейца Никомаха Герасского, который не принадлежал к Александрийской школе, но жил в последнем веке до нашей эры, и платоника Теона Смирнского, также не связанного с нашей школой и жившего во II веке нашей эры, то прогресс был незначительным. У Теона, чьи сохранившиеся труды, кажется, ещё не все опубликованы, есть трактат об арифметике и музыке (2), а у Никомаха – «Введение в арифметику», которое Боэций частично перевёл. Однако в этих трудах нет существенных нововведений; это учёные компиляции, и единственное их достоинство в том, что в них остроумно рассуждается о треугольных, квадратных и пятиугольных числах.
После Теона нужно снова перешагнуть через более чем столетие, чтобы найти работы по арифметике, заслуживающие внимания.
Порфирий, живший в начале IV века, но более философ, чем математик, и более теософ, чем философ, составил краткое изложение арифметики и трактат о тайнах чисел (1). Однако вместо того, чтобы продвигать науку вперёд, этот неоплатоник вернул бы её к пифагорейским спекуляциям, в которых она уже заблудилась столетия назад, если бы оказал более глубокое влияние и если бы незадолго до или после него не появился более достойный продолжатель Евклида и Аполлония Пергского.
Порфирий, который однажды или дважды появлялся в Александрии, не принадлежал к школе этого города, как и Теон с Никомахом; он не жил там, не преподавал и не писал свои труды; свою жизнь он провёл то в Италии, то в Сирии.
Диофант же, напротив, продолжатель великих арифметиков Александрийской школы, был истинным александрийцем по рождению и гению.
(1) Fabric. Biblioth. grace. t. IV.
Глава II
Арифметика. От Диофанта до Паппа.
Диофант жил между 200 годом до нашей эры и 400 годом нашей эры (точные даты его жизни неизвестны) и написал несколько трудов. Наиболее значительными из них были:
1. Практическая арифметика, которая не сохранилась.
2. Трактат о многоугольных числах, дошедший до нас.
3. Научный труд в тринадцати книгах, из которых сохранилось шесть.
Последний труд, сопровождаемый комментариями Максима Плануда и более поздними – Отто Шульца, заложил основы теории неопределённого анализа. Именно за это достижение Диофанта по праву считают его изобретателем.
Некоторые утверждают, что Диофант также создал алгебру, а арабы лишь переняли её у греков. Однако это преувеличение. Диофант не использовал общих алгебраических обозначений, ограничиваясь греческой буквенной нумерацией. Его методы были частными, а не обобщёнными. Алгебра, которую арабы развили, пришла к ним из Индии, и они изучали её ещё до перевода трудов Диофанта.
Таким образом, единственным значительным вкладом Диофанта остаётся создание неопределённого анализа.
Была ли эта теория оценена в Александрии? Мы не знаем. Комментарий Гипатии, дочери Теона Александрийского, который мог бы пролить свет на этот вопрос, утрачен, как и все её другие работы.
Александрийцы продолжали развивать теорию чисел даже в V веке, комментируя труды Никомаха Герасского. Хотя большинство этих комментариев утеряно, они поддерживали интерес к математике.
Единственная школа, которая могла сравниться с Александрийской в достижениях по арифметике, – это школа Индии. Жаль, что греки не переняли их алгебраические методы, которые могли бы значительно ускорить развитие науки.
Глава III
Геометрия. От Евклида до Аполлония Пергского.
Александрийская школа начала свои геометрические исследования с систематизации существующих знаний, и её дебют был блестящим благодаря Евклиду.
Евклид не создал геометрию с нуля, но он упорядочил и усовершенствовал работы своих предшественников, такие как «Начала» Гиппократа Хиосского. Его «Начала» и «Данные» стали основными трудами, хотя часть материала была переработана Теоном Александрийским.
Евклид также написал труды о конических сечениях и поверхностных местах, которые не сохранились. Его работы, хотя и не содержали много нового, стали эталоном для последующих поколений.
Архимед, хотя и не был александрийцем, затмил современных ему учёных своими открытиями: измерение сферы и цилиндра, квадратура параболы, теория спиралей и другие. Его методы предвосхитили исчисление пределов.
После Архимеда Александрийская школа вернула себе лидерство в геометрии. Аполлоний Пергский, автор фундаментального труда о конических сечениях, стал новой вехой в развитии науки.
Таким образом, Александрийская школа, несмотря на периоды застоя, оставалась центром математической мысли, а её труды легли в основу дальнейших открытий.
Глава IV
ГЕОМЕТРИЯ. – АПОЛЛОНИЙ ПЕРГСКИЙ.
Великая задача была уготована этому геометру, которого привлекли и удержали в Александрии труды Евклида, работы его учеников и слава о визите Архимеда.
Действительно, хотя греческие школы уже давно занимались сечениями конуса, теория связанных с ними проблем была слабо развита. Это видно уже из того, что до Аполлония некоторые из этих сечений не имели названий. Парабола была известна Архимеду, о чём свидетельствует один из лучших трактатов этого математика; но открытие и наименование эллипса и гиперболы были уделом Аполлония Пергского.
Родившийся около 247 года и умерший около 205 года до нашей эры, на сорок лет младше Архимеда и примерно на столько же старше Гиппарха, Аполлоний, которого Папп называет учеником Евклидидов (1) и который, по-видимому, стал главой их школы, так хорошо воспользовался трудами Архимеда и александрийцев, что окончательно утвердил в греческом Египте, где он проживал больше, чем в Пергаме (2), превосходство геометрического преподавания. Как мы уже говорили, он особенно продвинул теорию конических сечений, лишь намеченную, по словам Паппа, в четырёх книгах Евклида, но требовавшую развития. Этой теме он посвятил восемь книг, которые не были превзойдены в античности, а лишь объяснялись и комментировались, подобно тринадцати книгам Евклида.
Из этих восьми книг Аполлония на греческом сохранились только четыре. Однако у нас есть арабский перевод ещё трёх, и если восьмая книга утеряна, то многие математики, особенно Галлей, так хорошо восполнили её на основе аргументов, приведённых Паппом в начале его «Лемм», что с этими материалами и комментариями Эвтокия можно составить полное представление об этом шедевре.
Аполлоний также написал несколько других трактатов по специальным теориям: о касании прямых и окружностей, о плоскостях, наклонах и т. д. Из этих работ сохранилась лишь одна, «О сечении отношения», в арабском переводе (1).
Виет, Гетальд, Камерер, Хауман, Кристман, Симпсон и Хорсли пытались восстановить другие труды, подобно тому как Галлей восстановил восьмую книгу о конических сечениях.
В первых четырёх книгах этого сочинения Аполлоний изложил основы конических сечений, следуя принципам, уже намеченным его предшественниками: Платоном, Аристеем (математиком, жившим после Платона, но до Евклида) и Евклидом. Если он и заимствовал, то делал это как творец, работая с уже существующим материалом. До него сечения рассматривались только в перпендикулярном конусе. Аполлоний же построил их в конусе любого вида. Другими словами, его предшественники предполагали, что секущая плоскость перпендикулярна одной из сторон конуса, и использовали три разных конуса для получения сечений, которые Аполлоний назвал эллипсом и гиперболой. Этот геометр, напротив, вывел все сечения из косого конуса с круглым основанием.
К этому значительному шагу в методе он добавил несколько новых теорем.
Учения из остальных четырёх книг, менее известных и незнакомых Декарту, но высоко оценённых Ньютоном, принесли автору имя геометра по преимуществу. Они отмечены прекраснейшими открытиями.
Александрийская школа увидела в этом сочинении, как и в труде Евклида, работу мастера. Она приняла его и непрестанно комментировала (1). Папп, живший долгое время после Аполлония, поместил леммы или предварительные предложения в начале каждой из этих книг. Гипатия создала комментарий к тому же сочинению, который не сохранился. Комментарий Эвтокия к первым четырём книгам остаётся и содержит множество сведений, особенно ценных сегодня, учитывая утрату многих трудов той эпохи.
Арабы перевели книги Аполлония, которые, вероятно, были рекомендованы им наряду с трудами Евклида как лучшие трактаты по геометрии. Если они действительно начали эту работу под руководством учителей, ещё остававшихся в Александрии во время завоевания города их воинами, можно надеяться, что однажды будет найден арабский перевод восьмой книги, чья утрата так огорчительна.
Благодаря учению Аполлония Александрийский музей вновь стал центром геометрии. Если он временно утратил это звание после работ Архимеда, последовавших за трудами Евклида, то открытия Аполлония, пришедшие на смену достижениям Архимеда, с блеском восстановили славу школы Лагидов.
Её развитие в целом было впечатляющим. В течение одного века Евклид усовершенствовал методы и доказательства задач арифметики и геометрии, преподаваемых в предшествующих или современных ему школах; Архимед дал множество новых теорем, ранее неведомых, и решил проблемы, которые до него едва пытались решить; Аполлоний создал целую важнейшую ветвь науки на основе разрозненных элементов, найденных в трудах Евклидидов и Платоников.
Однако этот стремительный прогресс в преподавании математики не сохранился ни в Александрии, ни где-либо ещё. После Аполлония в геометрии не появилось новых творцов, хотя эта наука продолжала занимать учёных вплоть до эпохи Паппа.
Кто же были выдающиеся люди, развивавшие её в этот период?
