Teacher.elementary.school
Методика преподавания математики в начальной школе
Чаще используются несколько ситуаций:
1 сит. – измеряем отрезки меркой синего цвета, получаем результат: 3 < 4;
2 сит. – измеряем меркой красного цвета: 2 < 3;
3 сит. – измеряем зеленый отрезок синей меркой, а оранжевый – красной:
3 = 3.
Ситуация абсурдна, т.к. визуально видно, какой отрезок больше. Ищем причину, почему так получилось: измеряли длины отрезков разными мерками. Делаем вывод об измерении отрезков при сравнении их: необходимо пользоваться одной меркой.
III эт. – знакомство с единицей данной величины и с измерительным прибором.
После проведения предыдущей практической работы у учащихся возникает проблема, как же договориться, как измерять длину, чтобы при измерении равных отрезков у всех были одинаковые результаты? Делается вывод, что необходима единая единица длины.
Такой единицей измерения является сантиметр. Учитель демонстрирует модель сантиметра. Сантиметр сравнивается с шириной пальца, с длиной двух клеточек тетради.
Затем учитель знакомит учащихся с линейкой, с правилами пользования данным инструментом измерения длин отрезков.
На парте у каждого ученика должна быть модель сантиметра, изготовленная учителем ранее. При помощи модели ученики должны уметь решать, например, следующие задачи:
1. Измерить заданный отрезок. При этом ученик должен
а) пересчитывая количество вложенных в отрезок моделей, сделать вывод о длине отрезка в сантиметрах;
б) с помощью карандаша на отрезке отмечать конец модели сантиметра и посчитать, сколько таких моделей укладывается в отрезке.
2. Начертить отрезок заданной длины. При этом ученик должен:
а) провести по линии в тетради прямую;
б) отметить на ней точку отсчета;
в) в нужном направлении отложить длину, ставя карандашом засечки, отметив второй конец отрезка.
Такое пошаговое построение позволяет сформировать у детей необходимые в дальнейшем представления о предупреждении ошибок при измерении.
По нашему мнению, целесообразно четко работать с линейкой как инструментом. Знакомясь с линейкой, ученики могут выделить на ней отрезок в 1 см. Кроме того важно ввести правило измерения: прикладывать линейку так, чтобы начало отрезка совпадало с числом 0 на линейке.
С каким числом на линейке будет совпадать конец отрезка – такова и его длина.
Переходя к знакомству с новой для детей единицей длины – дециметром, учитель должен так построить свой урок, чтобы подвести их к самостоятельному выводу о том, что измерять отрезки не всегда удобно сантиметром (длину парты). Моделью сантиметра длину парты измерять долго. Нужна новая единица измерения. Учитель сообщает, что помимо единицы длины – сантиметра, существуют и другие единицы измерения. Так, вторая единица носит название дециметр. Ученики чертят в тетрадях отрезок в 10 см и записывают: 10 см = 1 дм.
Методика изучения метра, километра и миллиметра аналогична.
Площадь фигуры и ее измерение
План:
I. Понятие площади фигуры и ее измерения.
II. Методика изучения площади фигуры и ее измерения в начальной школе.
I. Понятие площади фигуры и ее измерения
Все люди представляют, что такое площадь помещения, где оно находится, площадь участка земли, где располагается дача, площадь поверхности, которую надо застеклить, покрасить. Многие обращают внимание, что площади одинаковых комнат или участков равны, а чтобы узнать общую площадь квартиры, нужно сложить площади всех ее помещений. Эти представления применяются и в геометрии.
Чтобы найти площадь фигуры иногда первоначально находят площади фигур, из которых она состоит.
Если фигура F состоит из фигур F1 и F2, то подразумевают, что она является их объединением, и у них нет внутренних общих точек. Поэтому говорят, что фигура F разбита на фигуры F1 и F2, т.е. F = F1 + F2.
F
F1 F2
Площадью фигуры называется положительная величина, определенная для каждой фигуры и обладающая свойствами:
– равные фигуры имеют равные площади;
– если фигура состоит из конечного числа фигур, то ее площадь равна сумме их площадей;
– существует фигура, площадь которой равна 1.
Измерение площади фигуры F состоит в сравнении ее площади с площадью квадрата со стороной, равной 1 длины. Если его обозначить буквой е, то результатом сравнения является положительное действительное число Se(F), которое называют численным значением площади фигуры F при выбранной единице площади е, или мерой площади F, или площадью фигуры F.
Получаемое при измерении число обладает свойствами, аналогичными свойствам длины отрезка (важно учесть, что это относится к плоским фигурам).
Фигуры, площади которых равны, называются равновеликими.
Площадь фигуры F можно найти с помощью палетки – квадратной сетки, нанесенной на прозрачный материал. Длина стороны квадрата сетки принимается за единицу длины, а площадь квадрата – за единицу площади.
Площадь фигуры подсчитывают по формуле: S(F) = m + n/2 (ед. 2).
Другим способом нахождения площади фигуры является использование готовых формул. Существуют теоремы, в которых обосновываются основные формулы:
1) Площадь квадрата равна квадрату длины его сторон, т.е. S = а2, где а – длина стороны квадрата.
2) Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон, т.е. S = a · b, где а и b – длины смежных сторон прямоугольника.
В некоторых случаях, чтобы найти площадь нужно найти площадь геометрических фигур из которых состоит данная фигура. Поэтому фигуры разбивают на фигуры, площадь, которых можно найти по формулам и выполняют вычисления. Например, так находят площадь параллелограмма. При этом используют определение равносоставленных фигур:
Два многоугольника называются равносоставленными, если каждый из них можно разбить на одно и то же количество попарно равных между собой фигур.
В С
В
ha
А F D E
Площадь параллелограмма находится по формуле: S = a · ha
Задание для самостоятельной работы
Площадь прямоугольника равна 12 см2 , длины его сторон выражаются натуральными числами. Сколько различных прямоугольников можно построить согласно этим условиям?
II. Методика изучения площади фигуры и ее измерения в начальной школе
Методика изучения площади также имеет свои особенности.
Подготовка к изучению понятия площади ведётся еще в первом классе. Спрашивая, какой треугольник больше – красный или синий, учитель показывает, как можно сравнить эти треугольники. Визуально или наложив один треугольник на другой, дети устанавливают, что синий треугольник поместился внутри красного, значит, синий треугольник меньше красного. При этом, конечно, термин «площадь» учитель не использует.
В качестве подготовительных упражнений можно использовать упражнения, в которых следует установить, из скольких одинаковых квадратов, прямоугольников или треугольников составлены разные геометрические фигуры.
По мнению методистов, ввести и закрепить понятие площади можно при помощи фронтальной и индивидуальной работы с учениками. На доске, фланелеграфе, наборном полотне прикрепляются различные геометрические фигуры (2 квадрата, 2 круга, 2 треугольника разных размеров), у детей на партах соответствующий раздаточный материал для проведения сравнения. Допустим, берем большой круг и маленький треугольник. Вопрос: какая фигура поместится во вторую? Покажите это. Наложением дети показывают, что треугольник поместится в середину круга. На доске тоже сначала закрепляется круг, а потом на него треугольник. Вывод: этот треугольник «часть» этого круга, значит, его площадь меньше площади круга. Можно сказать, что «площадь – это место, которое занимает фигура на плоскости». Представления о площади закрепляются у детей аналогичной практической работой, а обобщение проводят по учебнику, рассматривая фигуры различные по площади. Для закрепления понятия площади имеет смысл брать модели фигур различной конфигурации и цвета, чтобы предупредить ошибочное мнение учеников, что площадь имеют только прямоугольник квадрат. Однако спрашивать, что такое площадь у детей не стоит – понятие формируется на интуитивно-практическом уровне.
Следующим шагом будет практическая работа над фигурами, которые не вмещаются одна в другую. При выполнении этого задания нужно познакомить детей со сравнением фигур при помощи их разбиения на отдельные квадраты. На обратной стороне фигур разлинованы квадраты (одинаковые и неодинаковые). Пересчитывается их количество, и делаются выводы.
Затем аналогичные упражнения выполняются по учебнику и чертежам на доске. Требуется показать случаи, когда разные по форме фигуры имеют одинаковую площадь. Упражнения: подсчитайте квадраты, входящие в данную фигуру; начертите фигуры, состоящие из … квадратов:
1 2
Эти упражнения помогают наглядно формировать понятие площади как количества квадратных единиц.
Для ознакомления с квадратным сантиметром Н.Б.Истомина предлагает беседу и практическую работу с мерками-квадратами:
– Какие единицы длины вы знаете? (см, мм, дм, м, км)
– Покажите длины на линейке.
– Запишите обозначение всех единиц, которые назвали.
После этого сообщается, что для измерения площади используется единица, которая называется квадратный сантиметр. Затем, ученики чертят в тетради квадрат со стороной 1 см и называют его квадратным сантиметром. Площадь этого квадрата принимают за единицу измерения площади. Вводится правило записи и чтения: 5 см2 – пять квадратных сантиметров. После введения понятия проводится его закрепление.
Далее в квадратных сантиметрах измеряется площадь прямоугольника: измеряемый прямоугольник расчерчивается на квадратные сантиметры, и их число подсчитывается. После этого учащихся обучают правилу вычисления площади прямоугольника. При знакомстве с переместительным свойством умножения они подсчитывают число квадратов, на которые разбивался прямоугольник, двумя способами:
1) определяется число квадратов, уложенных в одном ряду, и число рядов; полученные числа умножаются;
2) определяется число квадратов в столбце и число столбцов; полученные числа умножаются.
Эти способы подсчета числа квадратов в прямоугольнике применяются и для определения площади прямоугольника. Например, учитель предлагает детям такое упражнение: установить площадь каждого прямоугольника, изображенного на доске.
Следовательно, выполняя его, учащиеся усваивают алгоритм вычисления площади прямоугольника:
1) измеряется длина прямоугольника, его ширина;
2) вычисляется произведение полученных чисел.
Полученное число и соответствует значению площади прямоугольника в квадратных сантиметрах.
Н.Б.Истомина для определения площади фигур, имеющих форму, отличную от прямоугольника, предлагает использовать, как инструмент – палетку. До введения палетки можно провести практическую работу по определению площади прямоугольников, начерченных на миллиметровой бумаге. Учитель обращает внимание детей на то, что одни неполные квадраты можно «сложить» с другими так, что они образуют квадратный сантиметр. Учащиеся убеждаются в возможности замены неполных квадратов полными: число полных квадратов составляет примерно половину числа неполных.
Правила применения палетки:
1) разместить палетку поверх фигуры так, чтобы в ней поместилось максимальное количество целых квадратов – квадратных сантиметров;
2) отдельно пересчитать количество полностью заполненных фигурой квадратов и тех, которые заняты только частично;
3) разделить количество неполных квадратов на 2 и сложить результат с количеством целых квадратов;
4) полученный результат и будет показывать, сколько квадратных сантиметров содержится в данной фигуре, т.е. ее площадь.
Детям необходимо объяснить, что измерение площади неправильной фигуры при помощи палетки дает приближенные результаты.
Далее учеников знакомят с квадратным дециметром. Новая единица вводится аналогично квадратному сантиметру, на наглядной основе.
При знакомстве учащихся с квадратным метром следует его модель разбить на квадратные дециметры, а один из квадратных дециметров – на квадратные сантиметры.
Но площадь измеряется не только в квадратных сантиметрах, дециметрах и метрах, но и такими единицами как ар и гектар. Знакомство с ними происходит в 4 классе.
Впоследствии работа над темой площадь, также должна включать систему упражнений, раскрывающих некоторые свойства понятия площади фигуры, а также подтверждающих справедливость математических законов.
Текстовая задача и процесс ее решения
I. Понятие «задача»
Для формирования у учащихся представлений о математической науке используются различные понятия, предложения, доказательства. Осваивая их, младшие школьники выполняют разнообразные задания. Их называют задачами.
В математике начальной школы преобладают такие, которые имеют определенные характеристики. Они являются
1) текстовыми – т.к. сформулированы на естественном языке в описательной форме;
2) сюжетными – т. к. в них описывается количественная сторона какой-то жизненной ситуации;
3) арифметическими или вычислительными – т. к. сводятся к поиску неизвестной величины с помощью арифметических действий.
Перед задачами в начальной школе стоят следующие цели:
1. В сюжетах находят выражение практические ситуации, с которыми дети уже знакомы, поэтому при решении они используют свой жизненный опыт. Это даёт возможность осознать количественные отношения между различными объектами (величинами), углубить и расширить представления о реальной действительности.
2. Решение задач помогает ребёнку осознать практическую значимость математических понятий, которыми он овладевает.
3. В процессе решения задач у ребёнка формируются знания, умения, навыки, необходимые для решения любой математической задачи:
выделять данное и искомое (условие и вопрос),
устанавливать зависимость между ними,
строить умозаключение,
моделировать,
проверять полученный результат.
Текстовая задача – это описание некоторой ситуации или ситуаций на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения.
Любая текстовая задача состоит из двух частей: утверждение и требование. Утверждение называется по-другому условием, а требование – вопросом.
Утверждение – часть задачи, где сообщаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекты, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними.
В задаче может быть несколько элементарных условий, а не одно. Они представляют собой количественные и качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними.
Требование задачи – это указание того, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повествовательной форме или в вопросительной:
– Вычислить площадь и периметр прямоугольника.
– Чему равна площадь прямоугольника и периметр?
Требований в задаче также может быть несколько.
Практическая работа
Задача. На торжественной линейке первоклассники выстроились в 2 ряда по 25 человек, а выпускники в 4 ряда по 12 человек. Сколько всего учащихся было на линейке? На сколько больше было первоклассников, чем старшеклассников?
Утверждения:
1. На линейке первоклассники выстроились в 2 ряда.
2. На линейке первоклассники выстроились по 25 человек в ряд.
3. На линейке выпускники выстроились в 4 ряда.
4. На линейке выпускники выстроились по 12 человек в ряд.
Требование:
1. Сколько всего учащихся было на линейке?
2. На сколько больше было первоклассников, чем старшеклассников?
II. Этапы решения задачи:
Ознакомление с содержанием задачи.
Поиск решения задачи.
Составление плана решения задачи.
Запись решения и ответа.
Проверка решения задачи.
Ознакомление с содержанием задачи.
– Прочитайте текст задачи. (Уч-ся читают про себя – 1 раз; вслух хорошо читающий ученик – 2 раз.)
– Кто присутствовал на торжественной линейке?
– Как стояли дети?
– Сколько рядов первоклассников было на линейке?
– Сколько первоклассников было в каждом ряде?
– Сколько рядов выпускников было на линейке?
– Сколько выпускников было в каждом ряде?
– Каков вопрос задачи?
– Каков первый вопрос?
– Каков второй вопрос?
2. Поиск решения задачи.
– Прочитайте первый вопрос задачи?
– Прочитайте второй вопрос задачи?
– Что нужно знать, чтобы ответить на эти вопросы?
(Сколько всего первоклассников и сколько всего выпускников.)
– Мы это знаем?
– Как узнать, сколько всего первоклассников?
– Каким действием?
– Как узнать, сколько всего выпускников?
– Каким действием?
– Каким действием узнаем, сколько всего учащихся на линейке?
– А как ответить на второй вопрос задачи?
– Каким правилом воспользовались?
– Ответили мы на вопросы задачи?
3. Составление плана решения задачи.
– Расскажите план решения этой задачи.
1) ×
2) ×
3) +
4) –
Запись решения и ответа.
– Запишите решение задачи в тетради.
1) (чел.) – было первоклассников
2) (чел.) – было выпускников
3)
4)
– Сформулируйте ответ. Запишите его.
Ответ: всего на линейке 98 учеников, первоклассников было на 2 больше, чем выпускников.
Арифметические действия
и методика их изучения в курсе математики начальной школы.
Формирование вычислительных навыков
у учащихся начальной школы
Теоретико-множественный смысл
суммы
План:
I. Теоретико-множественный смысл суммы целых неотрицательных чисел.
II. Теоретико-множественный смысл равенства а + 0 = а.
III. Теоретико-множественный смысл свойств сложения.
I. Теоретико-множественный смысл суммы целых неотрицательных чисел
Все действия над числами связываются с действиями над множествами.
Суммой целых неотрицательных чисел а и b, таких что а = n (A),
а b = n (B), является численность объединения непересекающихся множеств А и В –
a + b = n (A U B), где A ∩ B= Ø .
Т.е. с теоретико-множественных позиций сумма натуральных чисел а и b представляет собой число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств А и В, таких, что а = n (A), b = n (B):
а + b = n (A) + n (B) = n(A U B), если A ∩ B= Ø.
Например:
А = {х, у}; В = {а, в, с}, n (A)= 2, n (B)=3, то A U B = {а, в, с, х, у}
а + b = n(A U B) = n (A) + n (B) = 2 + 3 = 5
Взаимосвязь сложения целых неотрицательных чисел и объединения множеств позволяет также обосновывать с теоретико-множественных позиций выбор арифметических действий при решении текстовых задач различных видов.
Например:
Коля взял с тарелки 6 слив, а Катя – 4. Сколько слив было на тарелке?
В задаче рассматривается три множества: А – множество слив Коли, В – множество слив Кати и их объединение. Требуется узнать число элементов этого объединения, а оно находится сложением. Т.к. n(A) = 6, а n(В)= 4 и A ∩ B= Ø, то n(A U B) = n (A) + n (В) = 6 + 4.
Сумма 6 + 4 – это математическая модель данной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на поставленный вопрос задачи:
6 + 4 = 10. Следовательно, ребята с тарелки взяли 10 слив.
II. Теоретико-множественный смысл равенства а + 0 = а.
Пользуясь этими сведениями, раскроем теоретико-множественный смысл равенства а + 0 = а.
Если а = n (A), 0 = n(Ø), то согласно описанному выше
а + 0 = n (A) + n (Ø) = n(A U Ø) = n (A) = а.
Следовательно А U Ø = А, а значит n(A U Ø) = n (A), откуда и взято правило а + 0 = а (Если к любому числу прибавить 0, то получится то же самое число).
III. Теоретико-множественный смысл свойств сложения.
Взаимосвязь сложения целых неотрицательных чисел и объединения множеств позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций и свойства сложения:
коммутативность – переместительность
для любых множеств А и В – A U B = В U А.
Если а = n (A), b = n (B) и A ∩ B= Ø, то а + b = n(A U B)= n(В U А) = b + а;
Следовательно, а + b = b + а.
ассоциативное свойство – сочетательное
(A U B) U С = А U (В U С)
Если а = n (A), b = n (B), с =n(C) и A ∩ B= Ø, A ∩ С = Ø, В ∩ С= Ø, то
(а + b) + с = n(A U B) + n(C) = n((A U B) U С) = n(A U (B U С)) =
= n(A) + n(B U С) = a + (b + c).
Следовательно, (а+в) + с = а + (в+с).
Теоретико-множественный смысл
разности
План:
I. Теоретико-множественный смысл разности целых неотрицательных чисел.
II. Теоретико-множественный смысл равенств а – 0 = а и а – а = 0.
III. Теоретико-множественный смысл правил вычитания числа из суммы и суммы из числа.
IV. Теоретико-множественный смысл понятий «больше на …», «меньше на …».
I. Теоретико-множественный смысл разности целых неотрицательных чисел.
Пусть А – конечное множество и В – его собственное подмножество. Тогда множество А \ В (когда В c А, можно обозначить В´ ) тоже конечно, причем выполняется равенство n(А \ В) = n (A) – n (B)
Доказательство:
Так по условию В – собственное подмножество множества А, то с помощью кругов Эйлера их можно представить так:
А
А \ В
А
В
Разность А \ В на этом рисунке заштрихована. Хорошо видно, что В и А \ В не пересекаются и их объединение равно А. Поэтому число элементов в множестве А можно найти по формуле n (A) = n (B) + n(A \ B), откуда по определению вычитания как операции обратной сложению, получаем
n(A \ B) = n (A) – n (B).
Из этого следует определение разности натуральных чисел:
С теоретико-множественной позиции разность натуральных чисел а и b представляет собой число элементов в дополнении множества В до множества А, если а = n (A), b = n (B) и В c А:
а – b = n (A) – n (B) = n(A \ B), если В c А, В ≠ А, В = Ø.
Взаимосвязь вычитания и разности множеств позволяет обосновывать выбор действия при решении текстовых задач. Выясним, почему задача решается действием вычитания:
У Антона 11 машинок. 3 машинки он подарил другу. Сколько машинок стало у Антона?