Teacher.elementary.school
Методика преподавания математики в начальной школе
В задаче рассматриваются три множества: множество А – машинки у Антона; множество В – машинки подаренных Антоном другу, которое является подмножеством множества А; множество С – дополнение множества В до множества А – машинки, оставшиеся у Антона после того, как он подарил несколько другу. В задаче нужно найти число элементов в дополнении. Т.к. по условию n (A) = 11, n (B) = 3 и В c А, то n(C) = n(A \ B) = n (A) – n (B) = 11 – 3. Разность 11 – 3 – это математическая модель данной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 11 – 3 = 8. Следовательно, у Антона осталось 8 машинок.
Задание для самостоятельной работы
Обоснуйте с теоретико- множественной точки зрения выбор действий при решении текстовых задач.
а) В корзине 7 морковок, 3 из них отдали кроликам. Сколько морковок осталось в корзине?
б) Во дворе гуляли 6 мальчиков, трое из них ушли. Сколько мальчиков осталось во дворе?
II. Теоретико-множественный смысл равенств а – 0 = а и а – а = 0.
По аналогии трактуется вычитание нуля и вычитание а из а.
Т.к. А \ Ø = А, А \ А = Ø, то а – 0 = а и а – а = 0.
III. Теоретико-множественный смысл правил вычитания числа из суммы и суммы из числа.
Рассматриваемый подход позволяет толковать правила, которыми пользуются при рациональных способах вычитания:
– вычитание числа из суммы,
– вычитание суммы из числа.
Если а, b, с – натуральные числа, то (а + b) – с = (a – c) + b.
a + (b – c)
Доказательство:
Пусть А, В и С – такие множества, что а = n (A), b = n (B) и A ∩ B= Ø, С c А.
Докажем, что (А U В) \ С = (А \ С) U В.
n ((А U В) \ С) = n(А U В) – n(C) = (а + b) – c
n((А \ С) U В) = n(A \ C) + n(B) = (a – c) + b
И, следовательно, (а + b) – c = (a – c) + b, если а > с.
А
А
С
В
а – (b + с) = (a – b) – c.
(a – c) – b.
IV. Теоретико-множественный смысл понятий «больше на …», «меньше на …».
В аксиоматической теории понятия «меньше на …» («больше на …») вытекает из определения отношения «меньше».
Из того, что а < b, тогда и только тогда, когда существует число с, что
а + с = b. А значит, «а меньше b на с» или «b больше а на с».
Если а = n (A), b = n (B) и установлено, что а < b, то опираясь на теоретико-множественный подход понятия «меньше», в множестве В можно выделить собственное подмножество В1, равномощное множеству А, и непустое множество В \ В1.
Если число элементов в множестве В \ В1 обозначить как с (с ≠ 0), то в множестве В будет столько же элементов, сколько их в множестве А и еще с:
n (B) = n (B)+ n (B \ В1) или b = а + с, что подразумевает, что «а меньше b на с» («b больше а на с»).
Таким образом, с теоретико-множественной позиции понятия «а меньше b на с» («b больше а на с») означают, что
если а = n (A), b = n (B),
то в множестве В содержится столько же элементов, сколько в множестве А и еще с элементов.
Пользуясь этим можно вывести способ действия при сравнении числа элементов в множествах.
Т.к. с = n (B \ В1), где В1 с В, где n (B) = b, n (B1) = а, то по определению разности с = а – b. Следовательно, можно вывести правило:
Чтобы узнать, на сколько одно число меньше или больше другого, нужно из большего числа вычесть меньшее.
Это правило применяется при решении текстовых задач на разностное сравнение:
Мальчики играли в футбол. Юра забил 8 голов, а Толя – 6 голов. Кто из мальчиков забил голов больше и на сколько?
В задаче три множества: А множество голов, забитых Юрой, В – множество голов забитых Толей и С – множество голов, являющихся дополнением множества В до множества А – множество голов, являющихся дополнением к множеству голов, забитых Толей до множества голов, забитых Юрой. А значит, чтобы узнать численность дополнения, нужно из численности множества голов, забитых Юрой вычесть численность множества голов, забитых Толей (из большего вычесть меньшее):
А
А1 А \ А1
В
( где А \ А1 = С)
В задачах с понятиями «больше на …», «меньше на …» также можно обосновать выбор действий с точки зрения теории множеств, переводя их на действия с числами:
Катя знает 7 стихотворений, а Маша выучила на одно стихотворение больше. Сколько стихотворений знает Маша?
В задаче два множества – множество стихотворений, которые знает Катя – (А) и множество стихотворений, выученных Машей – (В). Известно, что в первом множестве 7 элементов, т.е. n (A) = 7. Число элементов во втором множестве требуется найти при условии, что в нем на 1 элемент больше, чем в первом множестве. Отношение «на одно больше» означает, что в множестве В элементов столько же, сколько их в множестве А, и еще 1 элемент.
А
В1 В \ В1
В
Т.е. Маша выучила столько же стихотворений, сколько Катя и еще одно. Используя правило подсчета элементов в объединении непересекающихся множеств, получаем: n (B) = n (B1)+ n (B \ В1)= 7 + 1. Т.к. 7 + 1 = 8, то ответ – Маша выучила 8 стихотворений.
Рассмотрим другую задачу:
Маша съела 6 печений, а Катя на 3 печенья меньше. Сколько печений съела Катя?
В задаче два множества – множество печений, съеденных Катей (А) и множество печений, съеденных Машей (А). Известно, что в первом множестве 6 элементов, т.е. n (A) = 6. Число элементов во втором надо найти при условии, что в нем на 3 элемента меньше, чем в первом. Отношение «на одно меньше» означает, что в множестве В элементов столько же, сколько их в множестве А, но без трех.
А
А1 А \А1
В
Это значит, что n(B) = n(A1) = n(A) – n(А \А1) = 6 – 3 = 3.
Арифметические действия
и методика их изучения в курсе математики начальной школы.
Формирование вычислительных навыков
у учащихся начальной школы
Устные приемы сложения и вычитания целых неотрицательных чисел.
Методика формирования вычислительного навыка младших школьников в пределах 10
План:
I. Понятия вычислительного приема.
II. Вычислительный навык и его характеристика.
III. Устные приемы сложения и вычитания однозначных чисел в пределах десятка.
I. Понятия вычислительного приема
Формирование вычислительных умений считается одной из ведущих и самых «трудоёмких» тем в начальной школе. Вопрос о значимости формирования устных вычислительных навыков на сегодняшний день является весьма дискуссионным в методическом плане, так считает С.В. Белошистая: «Программа по математике требует от учителя формирования у детей твердых навыков устных и письменных вычислений. Однако широкое распространение калькуляторов «жёсткой» отработки этих умений под сомнение, поэтому многие не связывают хорошее владение арифметическими вычислениями с математическими способностями и с математической одаренностью. Однако внимание к устным арифметическим вычислениям является особенностью для русской методической школы. В связи с этим значительная часть материала во всех существующих сегодня учебниках математики для начальной школы отведена формированию устных вычислительных умений и навыков». С этой целью учащиеся знакомятся с рациональными приемами вычислений.
Вычислительные приёмы – это последовательность выполняемых операций, каждое из которых опирается на какое-то математическое понятие.
II. Вычислительный навык и его характеристика
Вычислительный навык – это высокая степень овладения вычислительными приёмами. Приобрести вычислительные навыки – значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия и выполнять эти операции достаточно быстро.
Полноценный вычислительный навык характеризуется
– правильностью,
– осознанностью,
– рациональностью,
– обобщенностью,
– автоматизмом,
– прочностью.
Правильность – это характеристика действия, при котором ученик верно находит результат арифметического действия, то есть оптимально выбирает и выполняет операции, составляющие приём.
Осознанность – ученик понимает, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения, в любой момент может объяснить, как он решал и почему так целесообразно действовать.
Рациональность – ученик выбирает для данного случая более короткий способ действия, то есть выбирает те из возможных операций, выполнения которых легче других и быстрее приводит к результату.
Обобщенность – ученик может применить приём вычисления к большому числу случаев, то есть, способен перенести определенный приём вычисления на новые случаи.
Автоматизм – ученик выполняет и выделяет операции быстро и в свернутом виде, но всегда может вернуться к объяснению выбора системы операций.
Высокая степень автоматизации должна быть достигнута по отношению к табличным случаям сложения и вычитания, умножения и деления.
Прочность – ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время.
Формируя устные вычислительные навыки у младших школьников, учитель знакомит их с рациональными приемами вычислений, которые каждый человек выполняет ежедневно, практически не замечая этого. Т.е. для обладания навыками вычислений нужно владеть знаниями наиболее удобных способов при нахождении результата арифметических действий. Ими и являются вычислительные приемы.
III. Устные приемы сложения и вычитания однозначных чисел в пределах десятка
Все вычислительные приемы имеют теоретическую основу, т.е. это те математические факты (понятия), на которые опираются при выполнении каждой из операций приема.
В приведённой ниже таблице отражены основные виды устных вычислительных приёмов сложения и вычитания однозначных чисел в пределах 10 (1 класс).
Первоначально дети знакомятся со сложением и вычитанием однозначных чисел, результат которых не превышает число 10.
Виды
вычислительных приёмов
Необходимые знания
(теоретическая основа)
1. Присчитывание и отсчитывание по единице:
7 + 1, 4 – 1.
Знание натурального ряда чисел и принципа его построения.
2.Прибавление 2, 3, 4 (по частям):
5 + 4, 8 – 3.
1) знание смысла действий сложения и вычитания,
2) знание состава чисел 2, 3, 4.
3.Прибавление 5, 6, 7, 8, 9:
3 + 6, 2 + 8.
Знание переместительного свойства сложения.
4. Вычитание 5, 6, 7, 8, 9, 10:
9 – 6, 7 – 5.
1) знание взаимосвязи между компонентами и результатом сложения;
2) знание состава однозначных чисел (таблица сложения однозначных чисел).
1) Прибавляя и вычитая 1, например: 7 + 1 = 8, 9 – 1 = 8, учащиеся при этом рассуждают так: «Если к числу прибавить 1, то значит, получится следующее число ряда. Если из числа вычесть 1, то получится предыдующее число ряда».
2) Прибавляя числа по частям в случаях 4 + 3 = 7, 8 – 2 = 6
учащиеся выполняют действия по частям: «К 4 прибавим вначале 1 – получим 5, а потом еще 2 – получим 7». По аналогии и вычитают.
3) В дальнейшем действия осуществляют на основе переместительности и взаимосвязи между компонентами и результатом сложения:
3 + 6 = 9
«Чтобы к 3 прибавить 6 поменяем местами слагаемые, т.к. от перестановки слагаемых сумма не изменится. К 6 прибавим 3 по частям (2 и 1), получим 9».
4) Вычитая числа 5, 6, 7, 8, 9, рассуждают таким образом: «7 – это 5 и 2. Значит, если из 7 вычесть 5, то получим 2»: 7 – 5 = 2.
Арифметические действия
и методика их изучения в курсе математики начальной школы.
Формирование вычислительных навыков
у учащихся начальной школы
Устные приемы сложения и вычитания
двузначных чисел в пределах 100.
Методика формирования вычислительного навыка младших школьников
План:
I. Устные приемы сложения и вычитания двузначных чисел.
II. Приемы сложения и вычитания с трехзначными, четырехзначными и т.д. числами.
III. Методические приемы формирования устных вычислительных навыков сложения и вычитания.
I. Устные приемы сложения и вычитания однозначных чисел в пределах десятка
Во втором классе учащиеся подробно изучаю уже устные вычислительные приемы сложения и вычитания двузначных чисел, не являющихся табличными, т.к. сложение однозначных обобщено таблицей. Поэтому они так и называются внетабличными, а значит, их нельзя заучить. Важно видеть рациональный способ вычисления.
Виды
вычислительных приёмов
Необходимые знания и умения
(теоретическая основа)
1.Сложение и вычитание двузначных чисел, оканчивающихся 0:
30 + 20,
80 – 30.
1) знание разрядного состава двузначного числа;
2) умение выполнять действия с разрядными единицами;
3) знание таблицы сложения однозначных чисел в пределах 10 и соответствующих случаев вычитания.
2.Сложение и вычитание двузначного числа и однозначного числа (без перехода через разряд):
53 + 4,
68 – 5.
1) знание разрядного состава двузначных чисел;
2) знание сочетательного свойства сложения; правило вычитания числа из суммы;
3) знание таблицы сложения однозначных чисел в пределах 10 и соответствующих случаев вычитания.
3.Сложение и вычитание двузначных чисел, одно из которых оканчивается 0:
63 + 20,
72 – 60.
1) знание разрядного состава числа;
2) знание сочетательного свойства сложения;
3) знание соотношения между разрядными единицами;
4) знание таблицы сложения однозначных чисел в пределах 10 и соответствующих случаев вычитания;
5) умение выполнять действия с двузначными числами также как с однозначными.
4.Сложение и вычитание двузначного числа и однозначного с переходом через разряд:
62 + 9,
73 – 7.
1) знание разрядного состава числа;
2) знание сочетательного свойства сложения;
4) знание таблицы сложения однозначных чисел и соответствующих случаев вычитания с переходом через десяток в пределах 20.
5.Сложение двузначного и однозначного числа, когда в результате получается число оканчивающейся 0, вычитание из числа, оканчивающегося 0:
52 + 8,
60 – 4.
1) знание разрядного состава числа;
2) знание состава числа 10;
3) знание соотношения между разрядными единицами;
4) знание таблицы сложения однозначных чисел в пределах 10.
6. Прибавление двузначного числа к двузначному, оканчивающемуся 0; вычитание двузначного числа из двузначного, оканчивающегося нулем:
60 + 32,
90 – 32
1) знание разрядного состава числа;
2) знание состава числа 10;
3) знание соотношения между разрядными единицами;
4) знание таблицы сложения однозначных чисел в пределах 10.
7. Сложение и вычитание двух двузначных чисел, без перехода через разряд:
34 + 13,
76 – 14.
1) знание разрядного состава двузначного числа;
2) знание сочетательного свойства сложения;
3) знание соотношения между разрядными единицами;
4) знание таблицы сложения однозначных чисел в пределах 10 и соответствующих случаев вычитания.
II. Приемы сложения и вычитания с трехзначными, четырехзначными числами.
По аналогии выделяются приемы сложения и вычитания с трехзначными, четырехзначными и т.д. числами. Но базой для выполнения действия, и конкретно каждого шага преобразований с ними в процессе вычисления результата являются действия с однозначными числами или двузначными числами.
Виды
вычислительных приёмов
Необходимые знания и умения
1.Сложение и вычитание трехзначных чисел, оканчивающихся нулями (как однозначных):
300 + 200, 400 – 100.
1) знание соотношения между разрядными единицами;
2) знание табличного сложения однозначных чисел и соответствующих случаев вычитания;
3) умение складывать и вычитать однозначные числа.
2.Сложение и вычитание трехзначных чисел, оканчивающихся 0 (как двузначных):
530 + 140,
680 – 500.
1) знание разрядного состава числа;
2) знание соотношения между разрядными единицами;
3) знание сочетательного свойства сложения и правила вычитания числа из суммы;
4) умение складывать и вычитать двузначные числа.
3.Сложение и вычитание двух трехзначных чисел, оканчивающихся 0, с переходом через разряд (как двузначных):
340 + 190, 760 – 190.
1) знание разрядного состава трехзначного числа;
2) знание сочетательного свойства сложения;
3) знание соотношения между разрядными единицами;
4) знание таблицы сложения однозначных чисел с переходом через десяток в пределах 20 и соответствующих случаев вычитания.
Для осознанного выполнения приемов сложения и вычитания двузначных и трехзначных чисел учащиеся должны хорошо знать:
а) нумерацию чисел в пределах 100 (разрядный состав чисел, соотношение между разрядными единицами);
б) табличное сложение и соответствующие случаи вычитания в пределах 10, в пределах 20 с переходом через десяток;
в) свойства действий сложения и вычитания: переместительное, сочетательное и правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.
II. Методические приемы формирования устных вычислительных навыков сложения и вычитания
Работа над формированием вычислительными навыками (при выполнении всех вычислительных приемов устных и письменных) строится в соответствии с этапами:
I этап – подготовка к изучению вычислительного приема (изучение теоретической основы);
II этап – ознакомление с вычислительным приемом;
III этап – закрепление вычислительного умения, формирование вычислительного навыка.
При ознакомлении с каждым из вычислительных приёмов используются методические приёмы, способствующие их качественному усвоению. Долгие годы методическая копилка учителей пополнялась такими приемами. Эти приемы способствуют решению задачи – вооружить младших школьников устными вычислениями так, чтобы навык мог характеризоваться теми качествами, которые мы указали выше: правильностью, осознанностью, рациональностью, автоматизмом, прочностью.
Один из первых таких приемов, который применяется на первом же уроке ознакомления с любым из вычислительных приемов – это развернутая объяснительная запись. Ее мы видим почти во всех учебниках математики начальной школы (А.М.Моро – программа «Школа России», Л.Г.Петерсон – программа «Перспектива», В.Н.Рудницкая – «Школа 2100»):
43 + 4 = 49 + (1 + 3) = (49 + 1) + 3 = 50 + 3 = 53
48 – 3 = (40 + 8) – 3 = 40 + (8 – 3) = 40 + 5 = 45
Такая объяснительная запись показывает не просто все шаги тождественных преобразований в процессе выполнения каждой операции приема, но и раскрывает теоретическую основу приема. Ее мы рассмотрели выше в таблицах.
На последующих уроках, закрепляя вычислительные приёмы, необходимо сокращать объяснительную запись. Учителя в начальной школе используют для этого методические приёмы, раскрытые С.Н. Лысенковой:
1) «метод связывающих дуг»:
50
49 + 4 = 49 + (1 + 3) = 53,
90
73 + 20 = (70 + 3) + 20 = 93
2) «метод штриха»
48 – 3 = 45;
3. «метод усов»
45 + 8 = 40 + 13 = 53
40 5
Данные приёмы чаще всего применяются комбинированно:
49 + 4 = 53
49 + (1 + 3) = 50 + 3 = 53
При существующем многообразии методических приёмов для раскрытия приемов, выбор их зависит от специфики работы каждого учителя индивидуально, а так же от особенностей каждого класса в отдельности, но методика работы над каждым вычислительным приёмом содержит одни и те же этапы:
I этап – развернутая (пошаговая) запись вычислительно приёма на доске и в тетрадях
II этап – сокращение записи с помощью одного или нескольких методических приёмов;
III этап – краткая запись выражений с устными пояснениями для повышения качества формирования вычислительного навыка.
В процессе формирования вычислительных навыков осуществляется контроль его уровня.
Вместе с тем, учитывая, что ученик при выполнении вычислительного приёма, должен отдавать себе отчёт в правильности и целесообразности каждого выполненного действия, то есть постоянно контролировать себя, соотнося выполняемые операции с образцом – системой операций.
Арифметические действия
и методика их изучения в курсе математики начальной школы.
Формирование вычислительных навыков
у учащихся начальной школы
Устные приемы сложения и вычитания однозначных чисел с переходом через десяток в пределах 20.
Методика формирования вычислительного навыка младших школьников
После изучения приемов сложения и вычитания чисел в пределах десяти, на их основе учащиеся знакомятся с приемами сложения и вычитания однозначных чисел с переходом через разряд – через десяток в пределах 20 (концентр «Числа от 1 до 20»).
Представим в таблице эти приемы:
Виды
вычислительных приёмов
Необходимые знания
(теоретическая основа)
1. Сложение однозначных чисел с переходом через десяток:
6 + 8.
1) знание состава чисел в пределах десяти (таблица сложения однозначных чисел);
2) знание разрядного состава двузначных чисел.
2. Вычитание однозначных чисел с переходом через десяток:
12 – 7.
1) знание состава чисел в пределах десяти (таблица сложения однозначных чисел);
2) знание разрядного состава двузначных чисел.
3. Вычитание однозначных чисел с переходом через десяток:
12 – 7.
Знание состава двузначных чисел в пределах двадцати (таблица сложения однозначных чисел с переходом через десяток).
Прием сложения однозначных чисел состоит из 3 операций:
1) разложение второго слагаемого на сумму чисел, одно из которых может дополнить первое слагаемое до 10 (теоретическая основа – состав однозначных чисел, раскрытый в таблице сложения в пределах десятка);
6 + 8 =
4 4
2) прибавление к первому слагаемому, дополняя его до десяти (состав числа 10 – таблица сложения в пределах 10);
= (6 + 4) + 4 =
3) прибавление к полученному десятку оставшихся единиц от второго слагаемого (теоретическая основа – разрядный состав двузначных чисел).
= 10 + 4 = 14
Учащиеся рассуждают так: «8 – это 4 и 4. К 6 прибавим 4 до десяти. К десяти прибавим оставшиеся 4 единицы, получаем 14».
Данный прием четко показан в учебнике программы «Школа России» Математика. 1 класс. 2 часть.
Сложение рассматривается в последовательности прибавления чисел – 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 с переходом через десяток. Эти случаи запоминаются учениками. А на уроке обобщения объединяются в таблицу, называемую «таблицей сложения однозначных чисел в пределах 20».
Вычитание демонстрируется с помощью двух способов.