Teacher.elementary.school
Методика преподавания математики в начальной школе
I способ состоит из трех операций и выполняется по аналогии со сложением – по частям:
1) вычитаемое представляется в виде двух чисел, одно из которых равно разрядным единицам уменьшаемого (теоретическая основа – состав однозначных чисел, раскрытый в таблице сложения в пределах десятка);
12 – 7 = 12 – (2 + 5) =
2 5
2) из уменьшаемого вычитаем число равное единицам уменьшаемого до десятка (теоретическая основа – разрядный состав двузначных чисел);
= (12 – 2) – 5 =
3) из полученного десятка вычитаем оставшиеся единицы вычитаемого (состав числа 10 – таблица сложения в пределах 10).
= 10 – 5 = 5
Учащиеся рассуждают так: «Вычтем по частям. 7 – это 2 и 5. Из 12 вычтем 2 до 10. А теперь из 10 вычтем 5, получим 5».
II способ состоит из 2 операций:
1) уменьшаемое представляется в виде двух чисел, одно из которых равно вычитаемому (теоретическая основа – состав двузначных чисел, раскрытый в таблице сложения в пределах 20);
12 – 7 = (7 + 5) – 7 =
7 5
2) вычитание из суммы чисел слагаемого равного вычитаемому (теоретическая основа: особый случай вычитания – а – а =0).
(7 – 7) + 5 = 5
Учащиеся при этом рассуждают так: «12 – это 7 и 5. Значит, если из 12 вычесть 7, то получим 5». Так рассуждают дети.
– Найдите в учебнике Математика.1 класс. 2 часть урок, раскрывающий приемы вычитания.
– Чем изложенный материал на странице учебника отличается от представленного преподавателем?
Арифметические действия
и методика их изучения в курсе математики начальной школы.
Формирование вычислительных навыков
у учащихся начальной школы
Теоретико-множественный смысл произведения
План:
I. Теоретико-множественный смысл произведения целых неотрицательных чисел. Теоретико-множественный смысл равенств 0 × а = а и а × 0 = 0.
II. Теоретико-множественный смысл свойств умножения.
I. Теоретико-множественный смысл произведения целых неотрицательных чисел.
Теоретико-множественный смысл равенств а × 1= а и а × 0 = 0.
В школьном курсе математики используется определение умножения, которое связывается со сложением одинаковых слагаемых:
Если а и b – целые неотрицательные числа, то произведением а × b называется число, удовлетворяющее следующим условиям:
1) а × b = а + а + . . . + а + а, при b > 1;
b раз
2) а × b = а, при b = 1;
3) а × b = 0, при b = 0.
Первое условие можно обосновать с теоретико-множественной точки зрения так.
Если множества А1, А2, …, Аb имеют по а элементов каждое, причем никакие два из них не пересекаются, то их объединение А1UА2U …U Аb содержит а × b элементов.
Таким образом, с теоретико-множественной позиции произведение
а × b, при b > 1, представляет собой число элементов в объединении b множеств, каждое из которых содержит по а элементов и никакие два из них не пересекаются:
а × b= n(А1 U А2 U …U Аb), если n(А1) = n(А2) = … = n(Аb)= а и А1, А2, …, Аb попарно не пересекаются.
Такой подход позволяет обосновывать выбор умножения при решении текстовых задач, связывая умножение натуральных чисел с операцией объединения.
Каждому ребенку дали по 3 конфеты. Сколько конфет у четырех детей?
Выясним выбор действия для ответа на вопрос этой задачи.
В задаче речь идет о четырех множествах, в каждом из которых три элемента. Требуется узнать число элементов в объединении этих четырех множеств. Если
n(А1) = n(А2) = n(А3)= n(А4)= 3, то n(А1 U А2 U А3 U А4) = n(А1) + n(А2) + n(А3) + n(А4)= 3 + 3 + 3 + 3= 3 × 4. Произведение 3 × 4 является математической моделью данной задачи. Т.к. 3 × 4 = 12, то получаем ответ на вопрос: у четырех детей 12 конфет.
Существует другое толкование умножения с теоретико-множественной позиции, которое связано с понятием декартова произведения множеств.
Этот подход следует из теоремы:
Пусть А и В конечные множества. Тогда их декартово произведение также является конечным множеством, причем выполняется равенство:
n(A × B) = n(A) · n(B).
Тогда A × B состоит из пар вида (a , b), (a , b), …, (a , b), число которых равно n.
Если n = 1, то n(A)= а, n(B) = 1, то в этом случае имеем: n(A × B) = n(A)· n(B) = а · 1 = а.
При k = 0 данное равенство также верно, поскольку B = Ø и n(A × Ø) = n(A)· n(Ø) = а · 0 = 0.
Из этого следует, что с теоретико-множественной с теоретико-множественной точки зрения произведение а · b целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении множества А и В, таких, что а = n (A), b = n (B):
а · b = n(A) · n(B) = n(A × B).
II. Теоретико-множественный смысл свойств умножения
Благодаря такому подходу и смысл свойств умножения как арифметического действия:
1) коммутативное свойство – а · b = b · a,
2) ассоциативное свойство – (а · b) · c = a · (b · c),
3) дистрибутивное свойство – (a + b) · c = a · c + b · c.
1) Смысл равенства а · b = b · a
Хотя множества A × B и В × А различны, они являются равномощными: каждой паре (а, b) из множества A × B можно поставить в соответствие единственную пару (b, a) из множества В × А, и наоборот. Значит, n(A × B) = n(В × A) и поэтому а · b = b · a.
а · b = n(A × B) = n(В × A) = b · a
2) Ассоциативность (а · b) · c = a · (b · c) доказывается аналогично.
Множества A × (B × С) и (A × B) × С различны, но равномощны: каждой паре (а, (b, с)) из множества A × (B × С) соответствует единственная пара ((а, b), с) из множества (A × B) × С и наоборот. Поэтому n(A × (B × С)) = n ((A × B) × С), а следовательно a (b c)= (а b) c.
3) Дистрибутивность умножения относительно сложения выводится из равенства * А ×(В U С) = (А × В) U (А × С), а вычитания из равенства А ×(В \ С) = (А × В) \ (А × С).
(Ұ а, b,c Є Z) a · (b + c)= a· b + a·c (a +b) · c= a· с + b ·c
а = n (A), b = n (B), с = n (С):
Если А умножить на В и С, то А ×(В U С) = (А × В) U (А × С)
a · (b · c) = n (A) × n(В U С) = n(A ×(В U С)) = n((А × В) U (А × С))=
на основе рав.*
= n(А × В) + n(А × С) = a· b + a·c
Таким образом, умножение определяется через сложение, а особые случаи умножения с нулем принимаются по определению: а · 1 = а, а · 0 = 0.
Теоретико-множественный смысл частного
План:
I. Теоретико-множественный смысл частного целых неотрицательных чисел.
II. Теоретико-множественный смысл правил деления суммы на число и числа на сумму.
III. Теоретико-множественный смысл отношений «больше в», «меньше в».
IV. Теоретико-множественный смысл деления с остатком.
I. Теоретико-множественный смысл частного целых неотрицательных чисел
С теоретико-множественной точки зрения деление чисел – операция обратная умножению и связывается с разбиением конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и с его помощью решаются задачи двух видов:
– деление на равные части (нахождение числа элементов в каждом подмножестве разбиения);
– деление по содержанию (отыскание числа таких подмножеств).
Если а = n (A) и множество А разбито на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества и если:
b – число подмножеств, то частное а : b – число элементов в каждом подмножестве;
b – число элементов в каждом подмножестве, то частное а : b – число таких подмножеств.
В соответствии с этим обосновывается выбор арифметического действия для решения задач:
а) Мама дала Пете 15 орехов. Он раздал поровну своим друзьям – Диме и Сереже, а также себе. Сколько орехов получил каждый мальчик?
В задаче рассматривается множество, в котором 15 элементов – орехов. Это множество разбивается на 3 равночисленных подмножества, т.к мальчиков трое. Требуется узнать число элементов в каждом таком подмножестве. Это число можно найти с помощью деления: 15 : 3. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи: каждый мальчик получил по 5 орехов.
б) Доктор раздал 12 таблеток витаминов по 3 каждому ребенку. Сколько детей получили таблетки витаминов?
Множество из 12 элементов разбивается на подмножества, в каждом из которых по 3 элемента. Требуется узнать число таких подмножеств. Его можно найти с помощью деления: 12 : 3. Вычислив значение этого выражения – 12 : 3 = 4, получаем ответ на вопрос задачи: таблетки получили четыре ребенка.
II. Теоретико-множественный смысл правил деления суммы на число и числа на сумму
В математике при различных вычислениях пользуются правилами деления суммы на число. Дадим теоретико-множественное обоснование этим правилам.
Правило деления суммы на число:
Если частные а : с и b : с существуют, то (а + b) : с = а : с + b : с.
Пусть а = n (A), b = n (B) и A ∩ B= Ø. Если множества А и В можно разбить на равночисленные подмножества, состоящие из с элементов каждое, то и объединение этих множеств допускает такое же разбиение. Если при этом множество А состоит из а : с подмножеств, а множество В – из b : с подмножеств, то А U В состоит из а : с+ b : с подмножеств. Это и значит, что (а + b) : с = а : с+ b : с.
III. Теоретико-множественный смысл отношений «больше в», «меньше в»
С теоретико-множественной точки зрения рассматриваются и отношения «больше в», «меньше в», которые рассматриваются в текстовых задачах.
В аксиоматической теории определение этих отношений вытекает из определения натуральных чисел: если а : b = c, то можно говорить,
что «а больше b в с раз» или что «b меньше а в с раз». И чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого, надо большее разделить на меньшее.
Если а = n (A), b = n (B) и известно, что «а меньше b в с раз», то поскольку а < b , то в множестве В можно выделить собственное подмножество, равномощное множеству А , но так как «а меньше b в с раз», то множество В можно разбить на с подмножеств, равночисленных множеству А.
Так как с – это число подмножеств в разбиении множества В, содержащего b элементов, а в каждом подмножестве – а элементов, то
с = b : а.
а) У Дениса было 3 тетрадей в клетку, а в линию в 4 раза больше. Сколько тетрадей было у Дениса?
В задаче речь идет о двух множествах: множестве тетрадей в клетку (А) и множестве тетрадей в линию (В). Известно, что n (A) = 3 и что в множестве В элементов в 4 раза больше, чем в множестве А. Требуется найти число элементов в множестве В, т.е. n (B).
Т.к. в множестве В элементов в 4 раза больше, чем в множестве А, то множество В можно разбить на 4 подмножества, равномощных множеству А. Поскольку в каждом подмножестве содержится по три элемента, то всего в множестве В будет содержатся четыре раза по 3 элемента: 3 + 3 + 3 + 3 или
3 × 4 элементов. Выполнив вычисления, получаем ответ на вопрос задачи: тетрадей в линию у Дениса 12.
А
В
б) У Дениса 10 солдатиков, а у Толи в 2 раза меньше. Сколько солдатиков у Толи?
В задаче речь идет о двух множествах: множестве солдатиков у Дениса (А) и множестве солдатиков у Толи (В). Известно, что n (A) = 10 и что в множестве В элементов в 2 раза меньше, чем в множестве А. Требуется найти число элементов в множестве В, т.е. n (B).
Т.к. в множестве А элементов в 2 раза больше, чем в множестве А, т.к. сказано, что в множестве В элементов меньше. То множество А можно разбить на 2 равночисленных подмножества, равномощных множеству В. Требуется узнать число элементов в каждом таком подмножестве. Это число можно найти с помощью деления: 10 : 2. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи: у Толи 5 солдатиков.
А
В