Dmitry Alexy Golyshev
Алгебра. Основы
1. Введение в алгебру
Алгебра – это раздел математики, изучающий операции над числами и переменными, а также их взаимосвязи. Алгебра стала основой для более сложных математических концепций и применяется в различных областях науки и техники.
1.1 История алгебры
Алгебра имеет долгую и богатую историю, начиная с древних цивилизаций, таких как вавилоняне и египтяне. С течением времени она развивалась, и в Средние века арабские ученые внесли значительный вклад в ее развитие. Современная алгебра основывается на работах таких математиков, как Аль-Хорезми и Декарт.
1.2 Основные понятия и термины
– **Переменные** – символы, представляющие числа.
– **Константы** – фиксированные значения.
– **Уравнения** – математические выражения, утверждающие равенство между двумя сторонами.
– **Функции** – отношения, связывающие входные и выходные значения.
-–
2. Числовые выражения
2.1 Натуральные числа
Натуральные числа – это числа, используемые для счета (1, 2, 3, …). Они не включают отрицательные числа и ноль.
2.2 Целые числа
Целые числа включают в себя все натуральные числа, их отрицательные значения и ноль (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …).
2.3 Рациональные и иррациональные числа
– **Рациональные числа** – это числа, которые можно выразить в виде дроби \(\frac{a}{b}\), где \(a\) и \(b\) – целые числа, а \(b \neq 0\).
– **Иррациональные числа** – это числа, которые не могут быть выражены в виде простой дроби (например, \(\sqrt{2}\), \(\pi\)).
2.4 Действительные числа
Действительные числа включают в себя как рациональные, так и иррациональные числа. Это все числа, существующие на числовой прямой.
-–
3. Многочлены
3.1 Определение многочлена
Многочлен – это выражение, состоящее из переменных и коэффициентов, объединенных операциями сложения, вычитания и умножения. Пример: \(P(x) = 3x^2 + 2x – 5\).
3.2 Степень многочлена
Степень многочлена определяется как наибольшая степень его переменной. Например, степень многочлена \(3x^2 + 2x – 5\) равна 2.
3.3 Операции с многочленами
– **Сложение**: \(P(x) + Q(x) = (3x^2 + 2x – 5) + (2x^2 – x + 4) = 5x^2 + x – 1\)
– **Вычитание**: \(P(x) – Q(x) = (3x^2 + 2x – 5) – (2x^2 – x + 4) = x^2 + 3x – 9\)
– **Умножение**: \(P(x) \cdot Q(x) = (3x^2 + 2x)(2x – 1) = 6x^3 + 3x^2 – 2x\)
3.4 Деление многочленов
Деление многочленов выполняется с помощью деления в столбик. Пример: деление \(3x^2 + 2x – 5\) на \(x – 1\).
-–