Dmitry Alexy Golyshev
Алгебра. Основы
11. Неравенства и их системы
11.1 Линейные неравенства
Линейные неравенства имеют вид \(ax + b < 0\). Решение осуществляется аналогично линейным уравнениям, но с учетом знака неравенства.
11.2 Квадратные неравенства
Квадратные неравенства решаются путем нахождения корней соответствующего квадратного уравнения и анализа знаков интервалов.
11.3 Системы неравенств
Системы неравенств решаются аналогично системам уравнений, и решение включает в себя пересечение решений отдельных неравенств.
-–
12. Прогрессии
12.1 Арифметическая прогрессия
Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. Формула n-го члена:
\[
a_n = a_1 + (n-1)d
\]
где \(d\) – разность.
12.2 Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия – это последовательность, в которой отношение между любыми двумя последовательными членами постоянно. Формула n-го члена:
\[
a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}
\]
где \(q\) – общее отношение.
12.3 Формулы суммы прогрессий
– Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\[
S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)
\]
– Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии:
\[
S_n = a_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q}, \quad q \neq 1
\]
-–
13. Комбинаторика
13.1 Основные понятия комбинаторики
Комбинаторика – это раздел математики, изучающий методы подсчета и комбинирования объектов.
13.2 Перестановки и сочетания
– **Перестановка** – это расположение объектов в определенном порядке. Формула:
\[
P(n) = n!
\]
– **Сочетание** – это выбор объектов без учета порядка. Формула:
\[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]
13.3 Биномиальная теорема
Биномиальная теорема устанавливает связь между коэффициентами разложения \((a + b)^n\) и сочетаниями:
\[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) a^{n-k} b^k
\]
-–