Асват Дамодаран
Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов
ОТ МОДЕЛИ БЛЭКА-ШОУЛЗА К БИНОМИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ
Процесс преобразования применяемой в модели Блэка-Шоулза непрерывной дисперсии в биномиальное дерево довольно прост. Предположим, что у нас есть актив, продающийся в данный момент по цене 30 долл., а оценка стандартного отклонения стоимости актива, приведенного к годовому масштабу, дала значение в 40 %. Безрисковая ставка в годовом выражении – 5 %. Для упрощения предположим, что срок жизни опциона, подлежащего оценке, равен 4 годам, а период равен 1 году. Для оценки цен к окончанию каждого года мы сначала оценим движения вверх и вниз по биномиальной схеме:
На основе этих оценок мы можем получить цены для оконечности первого узла дерева (завершение первого года):
Повышающаяся цена = 30 долл. (1,4477) = 43,43 долл.
Понижающаяся цена = 40 долл. (0,6505) = 19,52 долл.
Продвигаясь через оставшуюся часть дерева, мы получим следующие цифры:
Модель Блэка-Шоулза для оценки опционов пут. Стоимость пут-опциона можно вывести из колл-опциона с той же самой ценой исполнения и тем же самым сроком действия:
С – Р = S – K × e-rt,
где С = стоимость опциона колл;
Р = стоимость опциона пут.
Связь между стоимостью опционов колл и пут называется «пут – колл паритетом», и любое отклонение от него инвесторы могут использовать для получения прибыли без всякого для себя риска. Чтобы объяснить, почему возникает пут – колл паритет, рассмотрим продажу колл-опциона и покупку пут-опциона с ценой исполнения К и сроком истечения t; при этом одновременно покупается базовый актив по текущей цене S. Выплаты по этой позиции – безрисковые и всегда приносят К в момент истечения срока t. Чтобы убедиться в этом, предположим, что цена исполнения к моменту срока истечения опциона равна S*. Выплаты на каждую позицию в портфеле представлены ниже:
Эта позиция со всей определенностью приносит сумму К, а издержки на создание этой позиции должны равняться текущей стоимости К при безрисковой ставке Ke-rt.
S + Р – C = Ke-rt,
С – Р = S – Ke-rt.
Подставив стоимость опциона колл, полученного по модели Блэка-Шоулза, мы получим:
Таким образом, создается портфель-имитатор путем продажи без покрытия [1 -N(d1)] акций и инвестирования Ke-rt[1 -N(d2)] в безрисковый актив.
Модель оценки опционов при скачкообразном процессе
Если изменения цены остаются большими, когда временные периоды в биномиальной модели сокращаются, то уже нельзя предполагать, что цены меняются непрерывно. Когда изменения цен остаются значительными, процесс ценообразования, допускающий возможность скачков, представляется более реалистичным. Кокс и Росс (Cox and Ross, 1976) оценивали опционы в условиях скачкообразного процесса ценообразования, где скачки могут быть только положительными. То есть в очередном интервале цена акции либо совершит скачок в сторону повышения с определенной вероятностью, либо поползет вниз с определенной скоростью.
Мертон (Merton, 1976) рассмотрел распределение, где ценовые скачки накладываются на непрерывный ценовой процесс. Он определил скорость, с которой совершаются скачки (λ), и средний размер скачка (k), выраженный в процентах от цены акции. Модель оценки, основывающейся на данном процессе, называется моделью диффузионных скачков (jump diffusion model). В ней стоимость опциона определяется пятью переменными, установленными в модели Блэка-Шоулза, а также параметрами скачкообразного процесса (λ, k). К сожалению, оценки параметров скачкообразного процесса связаны со столь большими помехами для большинства фирм, что любые преимущества использования более реалистичной модели перестают в реальности что-либо значить. Это обуславливает ограниченность использования этих моделей на практике.
ДОПОЛНИТЕЛЬНО ОБ ОЦЕНКЕ ОПЦИОНОВ
Все модели оценки опционов, описанные до сих пор – биномиальная модель, модель Блэка-Шоулза, модель скачкообразного процесса (jump process model), – предназначены для оценки опционов с ясно определенными сроками исполнения и степенью зрелости базовых активов, обращающихся на рынке. Однако опционы, с которыми мы сталкиваемся в инвестиционном анализе или при оценке, часто основываются на реальных, а не на финансовых активах. Реальные активы могут принимать куда более усложненные формы. В данном разделе рассмотрены некоторые из этих вариаций.
Опционы колл с верхним пределом и барьерные опционы
В случае простого колл-опциона отсутствуют какие-либо предопределенные верхние границы прибыли, которые могут быть созданы покупателем опциона. Цена актива (по крайней мере, в теории) может свободно расти, пропорционально повышая выплаты. Однако в случае некоторых опционов покупатель имеет право получать прибыль только до определенной цены, но не выше. Рассмотрим колл-опцион с ценой исполнения К1 по активу. В случае непокрытого колл-опциона выплата по этому опциону будет повышаться по мере роста цен базового актива сверх величины Kj. Предположим, что по достижении цены К2 выплаты урезаются до величины (K2 – Kj). Диаграмма выплат этого опциона показана на рисунке 5.5.
Данный вид опциона называют опционом колл с верхним пределом, или опционом кэп (capped option). Следует заметить, что как только цена достигает K2, временная премия опциона исчезает, поэтому опцион будет исполнен. Опционы колл с верхним пределом относятся к семейству опционов, которые называют барьерными опционами (barrier option), отличающимися тем, что выплаты и срок жизни опционов зависят от того, достигла ли цена базового актива определенного уровня в течение определенного периода времени.
Стоимость опциона колл с верхним пределом всегда ниже, чем стоимость аналогичного колл-опциона, у которого отсутствуют границы выплат. Простое приближение для стоимости такого опциона можно получить путем оценки колл-опциона дважды: первый раз – при данной цене исполнения, а второй раз – при цене исполнения, соответствующей границе, после чего следует найти разницу между двумя значениями стоимости. В предыдущем примере стоимость колл-опциона с ценой исполнения K и границей на уровне К2 можно записать следующим образом:
Стоимость опциона колл с верхним пределом = стоимость колл-опциона (К = К1 – стоимость колл-опциона (К = К2).
Барьерные опционы могут принимать разнообразные формы. В случае опциона выбытия (knockout option) опцион прекращает свое существование, если базовый актив достигает определенной цены. В случае колл-опциона цена выбытия устанавливается ниже цены исполнения, и этот опцион называется опционом с нижней границей (down-and-out option). В случае пут-опциона цена выбытия устанавливается выше цены исполнения, и его называют опционом с верхней границей (up-and-out option). Подобно колл-опционам с верхним пределом, эти опционы стоят меньше, чем их собратья, не имеющие подобных ограничений. Многие реальные опционы обладают ограничениями, связанными с потенциалом движения цены актива вверх, или может наблюдаться условие выбытия. Игнорирование таких ограничений может привести к завышению стоимости этих опционов.
Составные опционы
Стоимость некоторых опционов является производной не базовых активов, а других опционов. Подобные опционы называются составными, или сложными опционами (compound option). Составные опционы могут принять любую из четырех форм: колл-опцион на основе колл-опциона, пут-опцион на основе пут-опциона, колл-опцион на основе пут-опциона или пут-опцион на основе колл-опциона. Геске (Geske, 1979) разработал аналитическую формулировку для оценки составных опционов, заменив при вычислении стандартное нормальное распределение для оценки составных опционов, используемое в простых моделях, двумерным нормальным распределением.
Рассмотрим опцион для расширения проекта, который будет описан в главе 30. Хотя мы будем оценивать этот опцион с помощью простой модели оценки опционов, на самом деле расширение может происходить в несколько этапов. При этом каждый этап представляет собой опцион для последующего этапа. В этом случае мы недооценим опцион, интерпретируя его как простой, а не как составной опцион.
Даже если принять во внимание наши рассуждения, оценка составных опционов усложняется по мере добавления к цепочке новых опционов. В этом случае лучше принять за основу консервативную оценку стоимости, предоставляемую простой моделью оценки, чем потерпеть кораблекрушение, пытаясь преодолеть подводные камни оценки.
Радужные опционы
В случае простого опциона существует неопределенность относительно цены базового актива. Некоторые опционы подвержены двум или более видам неопределенности, и эти опционы называются радужными опционами (rainbow option). Использование для них простой модели оценки опционов может привести к предвзятым оценкам стоимости. Рассмотрим для примера опцион, представляющий собой не полностью разработанный запас нефти. При этом фирма, владеющая им, имеет право разрабатывать данный запас. Здесь существуют по меньшей мере два источника неопределенности. Очевидно, что первый – это цена на нефть, а второй – объем нефти, находящейся в запасах. Для их оценки можно сделать упрощающее предположение, что нам точно известен оставшийся объем нефти. Но в действительности неопределенность относительно количества повлияет на стоимость данного опциона и затруднит решение по поводу его исполнения[34].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Опцион – это актив, выплаты по которому зависят от стоимости базового актива. Колл-опцион предоставляет своему владельцу право купить базовый актив по фиксированной цене, в то время как пут-опцион дает покупателю такого опциона право продать базовый актив по фиксированной цене в любое время до истечения срока опциона. Стоимость опциона определяется шестью переменными: текущей стоимостью базового актива, дисперсией его стоимости, ожидаемыми дивидендами на актив, ценой исполнения и сроком жизни опциона, а также безрисковой процентной ставкой. Это демонстрируется и в биномиальной модели, и в модели Блэка-Шоулза, в которой опционы оцениваются через создание имитирующих портфелей, составленных из базовых активов, а также безрисковых ссуд или займов. Можно использовать эти модели для оценки активов, обладающих чертами опционов.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Ниже представлены цены опционов на акции Microsoft Corporation, не приносящие дивидендов.
Акции продаются по цене 83 долл., безрисковая ставка в годовом выражении равна 8,2 %. Стандартное отклонение логарифма цен на акцию (полученных на основе исторических данных) составляет 30 %.
а) Оцените стоимость трехмесячного колл-опциона с ценой исполнения 85 долл.
б) Используя входные данные для модели Блэка-Шоулза, определите, как бы вы воспроизвели этот колл-опцион.
в) Каково подразумеваемое стандартное отклонение в этом колл-опционе?
г) Предположим, вы покупаете колл-опцион с ценой исполнения 85 долл. и продаете колл-опцион с ценой исполнения 90 долл. Выведите диаграмму выплат для этой позиции.
д) Используя пут – колл паритет, оцените стоимость трехмесячного пут-опциона с ценой исполнения 85 долл.
2. Вы пытаетесь оценить трехмесячные колл-опционы и пут-опционы на акции Merck с ценой исполнения 30 долл. Акции торгуются по цене 28,75 долл., и компания планирует через два месяца выплатить ежеквартальные дивиденды в размере 0,28 долл. на акцию. Безрисковая процентная ставка в годовом выражении равна 3,6 %, а стандартное отклонение как логарифм цен на акцию составляет 20 %.
а) Оцените стоимость опционов колл и пут, используя модель Блэка-Шоулза.
б) Каково влияние ожидаемых выплат дивидендов на стоимость колл-опционов? А на стоимость пут-опционов? Почему?
3. Существует возможность, что опционы на акции Merck, описанные в предыдущем задании, могут быть исполнены досрочно.
а) Используйте метод псевдоамериканского опциона, чтобы определить, повлияет ли это на стоимость колл-опциона.
б) Почему существует возможность досрочного исполнения? Какие классы опционов с наибольшей вероятностью будут исполняться досрочно?
4. У вас есть следующая информация о трехмесячном колл-опционе:
а) Если бы вы хотели имитировать покупку данного колл-опциона, сколько денег вам пришлось бы занять?
б) Если бы вы пожелали воспроизвести покупку данного колл-опциона, сколько акций вам пришлось бы приобрести?
5. Акции производителя видеомагнитофонов Go Video в мае 1994 г. продавались по цене 4 долл. за акцию. В обращении было 11 млн акций. В то же самое время в обращении находились 550 000 варрантов с ценой исполнения 4,25 долл. Акции характеризовались стандартным отклонением 60 %. На акции дивиденды не выплачивались. Безрисковая ставка составляла 5 %.
а) Оцените стоимость варрантов, пренебрегая «разбавлением».
б) Оцените стоимость варрантов с учетом «разбавления».
в) Почему «разбавление» снижает стоимость варрантов?
6. Вы пытаетесь оценить долгосрочный колл-опцион на индекс NYSE Composite, который истекает через 5 лет и цена исполнения которого 275 пунктов. В настоящее время индекс равен 250 пунктам, а стандартное отклонение стоимости индекса в годовом выражении составило 15 %. Средний дивиденд на индекс равен 3 %, и ожидается, что он останется неизменным в последующие пять лет. Пятилетняя ставка на казначейские облигации составляет 5 %.
а) Оцените стоимость долгосрочного колл-опциона.
б) Оцените стоимость пут-опциона с теми же параметрами.
в) Какие неявные предположения следует сделать при использовании модели Блэка-Шоулза для оценки этого опциона? Какие из этих предположений, скорее всего, будут нарушены? Какие последствия это будет иметь для оценки?
7. Новые ценные бумаги на AT&T дают инвесторам право на все дивиденды АТ&Т в последующие три года. При этом потенциал повышения ограничивается 20 %, обеспечивая помимо всего прочего защиту от падения более чем на 10 %. Акции АТ&Т продаются по цене 50 долл., а трехлетние опционы колл и пут продаются на бирже по следующим ценам:
Сколько вы готовы заплатить за такую ценную бумагу?
Глава 6. РЫНОЧНАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ – ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ТЕСТЫ И ОБОСНОВАНИЯ
Что такое «эффективность рынка»?[35] Как она влияет на инвестиции и модели оценки стоимости? Определение термина «рыночная эффективность» вследствие его противоречивости вызывает бурные споры. Проблема заключается не столько в разногласиях между оппонентами, относительно того, что конкретно каждый из них имеет в виду, а сколько в том, что «эффективность рынка» принадлежит к ключевым установкам инвестора, в значительной степени определяющим его подход к инвестированию. В данной главе дано определение рыночной эффективности, обсуждается применение данной концепции инвесторами, а также подытожены некоторые базовые подходы, используемые для тестирования схем инвестирования, которые доказывают или опровергают наличие эффективности рынка. Кроме того, представлены итоги масштабного исследования, посвященного проблеме рыночной эффективности.
ЭФФЕКТИВНОСТЬ РЫНКА И ОЦЕНКА ИНВЕСТИЦИЙ
При оценке инвестиции центральными являются вопросы о том, эффективны ли рынки и, если ответ отрицательный, в чем состоит эта неэффективность. Если рынки действительно эффективны, то рыночная цена обеспечивает наилучшую оценку стоимости, и тем самым процесс оценки становится способом оправдания рыночной цены. Если же рынки неэффективны, то рыночная цена может отклоняться от истинной стоимости, и процесс оценки в этом случае направлен на получение обоснованной оценки этой стоимости. Инвесторы, корректно производящие оценку, смогут получить доходы большего размера, чем другие инвесторы, благодаря их способности выявлять недооцененные и переоцененные фирмы. Однако для получения более высоких доходов рынки должны со временем корректировать свои ошибки (т. е. стать эффективными). Продолжительность этих корректировок (шесть месяцев или пять лет) может оказывать серьезное влияние на выбор инвестором подхода к инвестированию, а также на временной горизонт, необходимый для успешной реализации выбранного инвестиционного стиля.
Кроме того, много полезной информации можно получить из исследований эффективности рынка, освещающих те его сегменты, где может проявиться неэффективность. Проявления неэффективности дают инструмент, позволяющий выявлять недооцененные акции в море ценных бумаг. С учетом масштаба рынка акций это не только сокращает время анализа, но и значительно повышает шансы обнаружения переоцененных и недооцененных акций. Например, некоторые исследования эффективности указывают на то, что акции, игнорируемые институциональными инвесторами, с большей вероятностью являются недооцененными, принося дополнительную прибыль. Стратегия, при помощи которой производится «отсеивание» фирм, отмеченных низким интересом со стороны институциональных инвесторов (выраженным в соответствующей доле от акций в обращении), может дать выборку игнорируемых фирм, которые затем при помощи моделей оценки можно оценить для создания портфеля недооцененных фирм. Если исследование проведено корректно, то шансы найти недооцененные акции в этой выборке достаточно высоки.
ЧТО ТАКОЕ ЭФФЕКТИВНЫЙ РЫНОК?
Эффективным считается рынок, на котором рыночная цена определяется путем непредвзятой оценки истинной стоимости инвестиции. Данное определение подразумевает несколько ключевых положений:
• Вопреки популярному мнению, эффективность рынка не требует, чтобы рыночная цена была равна истинной стоимости в каждый момент времени. Необходимо лишь, чтобы ошибки в рыночной цене были непредвзяты. Цены могут быть больше или меньше истинной стоимости, пока отклонения носят случайный характер.
• Факт случайности отклонения цен от истинной стоимости предполагает, что вероятность переоценки равна вероятности недооценки в любой момент времени, причем наблюдаемые отклонения не коррелируют с какими-либо наблюдаемыми переменными. Например, на эффективном рынке акции с меньшим коэффициентом (мультипликатором)[36] «цена/прибыль» недооценены с не меньшей вероятностью, чем акции с высоким коэффициентом «цена/прибыль».
• Если отклонения рыночной цены от истинной стоимости носят случайный характер, то никакая группа инвесторов не в состоянии регулярно находить недооцененные или переоцененные акции даже при использовании каких-либо инвестиционных стратегий.
Определение рыночной эффективности должно соотноситься не только с конкретным рассматриваемым рынком, но и с принимаемой во внимание группой инвесторов. Крайне сомнительно, чтобы все рынки оказались эффективными для всех инвесторов, хотя вполне вероятно, что какой-то определенный рынок (например, Нью-Йоркская фондовая биржа) эффективен для среднего инвестора. То есть очень может быть, что рынок эффективен не для всех инвесторов, а только для некоторых из них. Это является прямым следствием различных налоговых ставок и операционных издержек, которые даруют преимущества одним инвесторам относительно других.
Определение рыночной эффективности также связано с предположением относительно информации, которая доступна инвесторам и отражается в цене. Например, строгое определение эффективности рынка, предполагающее, что вся информация, как общественная, так и частная, отражена в рыночной цене, означало бы, что даже инвесторы с достоверной инсайдерской информацией не смогут переиграть рынок. Одна из самых ранних классификаций уровней эффективности рынка была представлена Фамой (Fama, 1971), который доказывал, что, согласно информации, нашедшей отражение в ценах, возможны три уровня эффективности рынка. При низкой эффективности рынка текущая цена учитывает информацию, содержащуюся во всех прошлых ценах, подразумевая тем самым, что графики изменения цен и технический анализ, опирающийся только на исторические данные, не смогут быть полезными при обнаружении недооцененных акций. В случае средней эффективности текущие цены отражают информацию, содержащуюся не только в прошлых ценах, но и всю открытую информацию (включая финансовую отчетность и новости). Таким образом, при поиске недооцененных акций любой подход, в основе которого лежат заключения, базирующиеся на использовании и обработке этой информации, окажется бесполезным. В случае высокой эффективности, текущая цена отражает всю информацию, как публичную, так и приватную, поэтому никакой инвестор не сумеет обнаружить недооцененные акции, предполагая делать это на регулярной основе.
ПОСЛЕДСТВИЯ РЫНОЧНОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ
Непосредственным и прямым следствием рыночной эффективности (или эффективности рынка) является то, что никакая группа инвесторов не имеет возможности регулярно переигрывать рынок, используя обычную инвестиционную стратегию. Кроме того, эффективный рынок оказывает отрицательное влияние на многие рыночные стратегии.
• На эффективных рынках анализ и оценка собственного капитала оказываются дорогостоящей задачей, которая не приносит никакой прибыли. Шансы найти недооцененные акции всегда равны 50/50, отражая случайность ошибок ценообразования. В лучшем случае выгоды сбора информации и анализа собственного капитала лишь покрывают издержки, связанные с исследованиями.
• На эффективных рынках стратегия случайной (рендомизированной) диверсификации между акциями или следования рыночному индексу, которая обеспечивает небольшие или нулевые издержки, связанные с получением информации, и минимальную стоимость применения такого подхода, оказывается более эффективной, чем любые другие стратегии, предполагающие большие затраты на их исполнение и на получение информации. На рынках, отличающихся эффективностью, ни один портфельный менеджер и/или разработчик инвестиционных стратегий не сумеет обеспечить добавленную стоимость.
• На эффективном рынке стратегии минимизации торговли (т. е. создание портфеля и отказ от торговли, если нет необходимости в денежных средствах) окажутся более эффективными, чем стратегии, требующие частых торговых сделок.
Таким образом, неудивительно, что концепция эффективности рынка вызывает мощное неприятие со стороны портфельных менеджеров и аналитиков, вполне справедливо рассматривающих ее как вызов своему существованию.
Кроме того, важно прояснить, что «эффективность рынка» не означает следующее:
• Цены на акции не могут отклоняться от истинной стоимости. В действительности, могут иметь место лишь серьезные отклонения рыночной цены от истинной стоимости. Единственное требование состоит в том, чтобы отклонения носили случайный характер.
• Ни один инвестор не в состоянии переиграть рынок на протяжении любых промежутков времени. Напротив, если не учитывать транзакционных издержек, то примерно половина инвесторов окажется хитрее рынка в любой период времени[37].
• Никакая группа инвесторов не сумеет переиграть рынок на протяжении длительного периода времени. При данном количестве инвесторов на финансовых рынках законы вероятности определяют, что довольно большое число инвесторов регулярно окажется хитрее рынка на протяжении длительного периода времени, причем благодаря не своим инвестиционным стратегиям, а везению. Но было бы странным, если бы непропорционально большое число[38] таких инвесторов использовало одну и ту же инвестиционную стратегию.
На эффективных рынках ожидаемые доходы от любых инвестиций соответствуют риску, связанному с этими инвестициями в долгосрочном периоде, хотя и возможны отклонения от этих ожидаемых доходов на краткосрочных отрезках времени.
